matrix mit kanonischer basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Also gegeben ist:
[mm] f(a_1,a_2,a_3)^T [/mm] = [mm] (a_1+2a_3 [/mm] , [mm] a_2-a_3 [/mm] , [mm] a_1+a_2 [/mm] , [mm] 2a_1+3a_3)^T
[/mm]
dann sollte man die zugehörige Matrix bezüglich der kanonischen Basis bestimmen :
Standardbasis:
B =( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] )
Jetzt habe ich weiterhin folgendes aufgeschrieben ( ich weiß nicht ob man das darf, da einmal [mm] \IR^3 [/mm] und einmal [mm] \IR^4 [/mm] )
f [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
f [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}= \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
f [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = vektor{2 [mm] \\ [/mm] -1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 3}
darf ich das so aufschreiben??
Und als Matrix folgt ja eine 3(spalten) x 4 (zeilen) Matrix
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Hallo Balsam,
> Also gegeben ist:
>
> [mm]f(a_1,a_2,a_3)^T[/mm] = [mm](a_1+2a_3[/mm] , [mm]a_2-a_3[/mm] , [mm]a_1+a_2[/mm] , [mm]2a_1+3a_3)^T[/mm]
>
> dann sollte man die zugehörige Matrix bezüglich der
> kanonischen Basis bestimmen :
>
> Standardbasis:
>
> B =( [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] )
>
> Jetzt habe ich weiterhin folgendes aufgeschrieben ( ich
> weiß nicht ob man das darf, da einmal [mm]\IR^3[/mm] und einmal
> [mm]\IR^4[/mm] )
>
> f [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}= \vektor{0 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> f [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= vektor{2 [mm]\\
[/mm] -1 [mm]\\
[/mm] 0 [mm]\\
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3}
>
> darf ich das so aufschreiben??
>
> Und als Matrix folgt ja eine 3(spalten) x 4 (zeilen)
> Matrix
Ja, aber das sagt man eigentlich umgekehrt, zuerst die Zeilen, dann die Spalten, du bekommst also als Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. der Standarsbasen eine $4\times 3$-Matrix mit den Bildvektoren, die du errechnet hast als Spalten.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Oh, das ist ja toll, dass das alles so richtig ist.
Mit der zweiten Teilaufgabe kann ich jedoch Nichts anfangen:
Es sei
B= { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}}
[/mm]
eine Basis des [mm] \IR^4. [/mm] Bestimmen Sie die beiden Matrizen, die im [mm] \IR^4 [/mm] den Basiswechsel von der kanonischen Basis nach B bzw. von B nach der kanonischen Basis beschreiben.
Kann mir da jmd helfen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Oh, das ist ja toll, dass das alles so richtig ist.
>
> Mit der zweiten Teilaufgabe kann ich jedoch Nichts
> anfangen:
>
> Es sei
>
> B= { [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0}}[/mm]
>
> eine Basis des [mm]\IR^4.[/mm] Bestimmen Sie die beiden Matrizen,
> die im [mm]\IR^4[/mm] den Basiswechsel von der kanonischen Basis
> nach B bzw. von B nach der kanonischen Basis beschreiben.
>
> Kann mir da jmd helfen?
Hallo,
ich glaube: ja.
Überlegen wir zunächst, was die Abbildung tut, die den Basiswechsel von B zu kanonischen Basis E beschreibt: diese Abbildung verändert den Vektor nicht, sondern sie beschreibt ihn nur in anderen Koordinaten. Sie macht aus vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, solche bzgl. E.
Wir suchen also in "meiner" (selbsterklärenden) Schreibweise die Matrix [mm] _EM(id)_B.
[/mm]
Nun erinnere Dich an das Sprüchlein "In den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl der Basen C der Urbildraumes und D des Bildraumes stehen die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl D."
Du mußt also in die Spalten von [mm] _EM(id)_B [/mm] die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung id in Koordinaten bzgl. E schreiben.
Das ist einfach...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 10.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich glaube nicht, dass ich verstanden habe was du von mir willst.
Wir haben eine Identitätsmatrix ( 4x4) mit 1-en in den Hauptdiagonalen
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
soll ich jetzt einfach in die Spalten die Vektoren von B reinschreiben und meine 1-en in den Hauptdiagonalen beibehalten?
Quasi so:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
??
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> Ich glaube nicht, dass ich verstanden habe was du von mir
> willst.
> Wir haben eine Identitätsmatrix ( 4x4) mit 1-en in den
> Hauptdiagonalen
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> soll ich jetzt einfach in die Spalten die Vektoren von B
> reinschreiben und meine 1-en in den Hauptdiagonalen
> beibehalten?
Hallo,
Du hast alles, was ich geschrieben habe, fein langsam studiert?
Wenn ja: was hast Du nicht verstanden? Gab es unklare Begriffe?
Ich schrieb: "Du mußt also in die Spalten von $ [mm] _EM(id)_B [/mm] $ die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung id in Koordinaten bzgl. E schreiben. "
Nehmen wir exemplarisch den dritten Basisvektor von B.
Was ist sein Bild unter der Abbildung id?
Wie lautet er in Koordinaten bzgl der Standardbasis?
Dies ist Deine dritte Spalte.
Gruß v. Angela
>
> Quasi so:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 10.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Irgendwie kann ich damit schon nichts anfangen:
"Nehmen wir exemplarisch den dritten Basisvektor von B.
Was ist sein Bild unter der Abbildung id? "
Könntest du mir ein Beispiel geben?
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> Irgendwie kann ich damit schon nichts anfangen:
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> "Nehmen wir exemplarisch den dritten Basisvektor [mm] b_3 [/mm] von B.
> Was ist sein Bild unter der Abbildung id? "
Hallo,
anders formuliert:
was ist [mm] id(b_3)? [/mm] Natürlich [mm] b_3.
[/mm]
Und nun sag [mm] b_3 [/mm] bzgl der Standardbasis. $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $!
Gruß v. Angela
>
> Könntest du mir ein Beispiel geben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 So 10.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Das bleibt quasi :O
Für [mm] b_1, b_2 [/mm] , [mm] b_4 [/mm] genauso ??
Und dann die Matrix aufstellen?
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> Das bleibt quasi :O
> Für [mm]b_1, b_2[/mm] , [mm]b_4[/mm] genauso ??
Hallo,
was auch immer Du mit "quasi" meinen magst - für die anderen Vektoren geht's natürlich genauso.
> Und dann die Matrix aufstellen?
Ja. Einfach die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. der Standardbasis in eine Matrix stecken. Damit hast Du die Matrix, die den Übergang von B zur Stanadardbasis beschreibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Okay also wäre meine Matrix(M1) von B zu kanonischen Basis E:
[mm] M1=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
??
Und wie bestimme ich die Matrix, die von der kanonischen Basis zu B wechselt ? Die müsste doch dann genauso wie M1 lauten oder nicht?
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> Okay also wäre meine Matrix(M1) von B zu kanonischen Basis
> E:
>
> [mm]M1=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> ??
Hallo,
ja.
>
> Und wie bestimme ich die Matrix, die von der kanonischen
> Basis zu B wechselt ? Die müsste doch dann genauso wie M1
> lauten oder nicht?
Das wär' ja nun etwas urig, oder?
Ich hab' eigentlich in diesem Thread schon geschrieben, wie es geht, schade, daß es so wenig Beachtung findest.
Du suchst jetzt die Matrix, welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl. der Standardbasis E gegeben sind, in solche bzgl. B verwandelt.
Mehr wird mit ihnen nicht gemacht, also ist die Matrix [mm] _BM(id)_E [/mm] gesucht.
Ich zitiere mich selbst:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] _DM(f)_C [/mm] von f bzgl der Basen C der Urbildraumes und D des Bildraumes stehen die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl D."
Auf Deine Aufgabe bezogen: in die Matrix kommen die Basisvektoren von E, ausgedrückt in Koordinaten bzgl. B.
Oder Du schaltest gleich Deinen gesunden Menschenverstand ein und überlegst Dir, daß die Transformation von E nach B die von B nach E umkehrt.
Das ist der schnellste Weg.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:47 Di 19.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Könntest du mir da eventuell wieder einen Beispiel geben ?
Ich blick da immer noch nicht durch.
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> Könntest du mir da eventuell wieder einen Beispiel geben
> ?
> Ich blick da immer noch nicht durch.
Hallo,
bezieh Dich bei Deiner Rückfrage bitte konkret auf meinen Text und sag', was Du weshalb nicht verstehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 19.07.2011 | | Autor: | Balsam |
Du hast von Transformation gesprochen , reicht es also aus, wenn ich die ermittelte Matrix einfach transformiere?
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> Du hast von Transformation gesprochen ,
Hallo,
ja, von der Transformation von einer Basis in die andere.
> reicht es also aus,
> wenn ich die ermittelte Matrix einfach transformiere?
"Transformieren" bedeutet umwandeln.
Wie gedenkst Du die Matrix den umzuwandeln? Du müßtest schon etwas genauer sagen, was Dir vorschwebt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 19.07.2011 | | Autor: | Balsam |
M2^-1 = 1/det(M1) * [mm] \overline{A}
[/mm]
ich hatte diese formel gefunden ? Geht das damit?
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> M2^-1 = 1/det(M1) * [mm]\overline{A}[/mm]
>
> ich hatte diese formel gefunden ? Geht das damit?
Hallo,
k.A., was das für eine Formel ist und was sie für Dich tun soll.
Um die aktuell gesuchte Matrix für den Übergang von E nach B zu bekommen, mußt Du Deine Matrix [mm] M_1 [/mm] invertieren, oder den anderen, in einem früheren Post von mir geschilderten Weg gehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Balsam |
wie kann ich eine 4x4 matrix invertieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> wie kann ich eine 4x4 matrix invertieren?
Aus Wiki:
Die Inverse einer Matrix kann aus der Formel $ A [mm] \cdot A^{-1} [/mm] = E$ berechnet werden. Dazu bildet man die Matrix (A | E) und wendet auf diese den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Nach Durchführung des Algorithmus hat man eine Blockmatrix (E | [mm] A^{-1}), [/mm] aus der man [mm] A^{-1} [/mm] direkt ablesen kann.
FRED
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