matrix bezüglich standardbasis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Es sei [mm] T:R^2->R^2 [/mm] ein linearer Operator mit
[mm] T(x_1,x_2) [/mm] = [mm] (-x_2,x_1) [/mm]
für alle [mm] (x_1,x_2) [/mm] € [mm] R^2
[/mm]
a) wie sieht die matrix von T bezüglich der standardbasis des [mm] R^2 [/mm] aus ? |
hi zusammen,
ich versteh die aufgabe nicht ganz. im endeffekt will man doch von der basis A={(0,-1),(1,0)} auf die Basis B={(1,0),(0,1)} wechseln, hab ich das richtig verstanden ?
mfg
meep
|
|
| |
|
> Es sei [mm]T:R^2->R^2[/mm] ein linearer Operator mit
>
> [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = [mm](-x_2,x_1)[/mm]
>
> für alle [mm](x_1,x_2)[/mm] € [mm]R^2[/mm]
>
> a) wie sieht die matrix von T bezüglich der standardbasis
> des [mm]R^2[/mm] aus ?
> hi zusammen,
>
> ich versteh die aufgabe nicht ganz. im endeffekt will man
> doch von der basis A={(0,-1),(1,0)} auf die Basis
> B={(1,0),(0,1)} wechseln, hab ich das richtig verstanden ?
Hallo,
nein.
Sondern: Du suchst eine Matrix M mit dieser Eigenschaft:
T(x)=Mx
Die Matrix liefert Dir bei Multiplikation mit dem Vektor x sein Bild T(x), und zwar in Standardkoordinaten und nicht als Koordinatenvektor bzgl irgendeiner exotischen Basis.
In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis stehen die Bilder der Standardbasisvektoren unter der Abbildung T (in Koordinaten bzgl der Standardbasis).
Du mußt also nichts anderes tun, als die Bilder der Standardbasisvektoren zu berechnen und diese in eine Matrix zu stecken.
Der von Dir vermutete Basiswechsel kommt in der Aufgabe nicht vor.
Gruß v. Angela
>
> mfg
>
> meep
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
hi nochmals und danke für die hilfe angela,
muss ich also folgendes lösen ?
(0,-1) = a(1,0) + b(0,1)
(1,0) = a(1,0)+b(0,1)
sorry aber ich bin total verwirrt :(
|
|
|
| |
|
Hallo meep,
> hi nochmals und danke für die hilfe angela,
>
> muss ich also folgendes lösen ?
>
> (0,-1) = a(1,0) + b(0,1)
> (1,0) = a(1,0)+b(0,1) ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommst du auf die Gleichungen?
Gesucht ist doch die Darstellungsmatrix von $T$ bzgl. der Standardbasen des Urbild- und des Zielraumes, also bzgl. [mm] $\mathcal{B}=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}$
[/mm]
Es ist [mm] $T\vektor{1\\0}=\vektor{0\\1} [/mm] \ [mm] \text{gem. Abbildungsvorschrift}$
[/mm]
Diesen Bildvektor gilt es nun als LK der Basisvektoren des Zielraumes darzustellen ...
[mm] $\vektor{0\\1}=a\cdot{}\vektor{1\\0}+b\cdot{}\vektor{0\\1}$
[/mm]
Woraus du direkt $a=0, b=1$ ablesen kannst.
Also ist die erste Spalte der Darstellungsmatix der Koeffizientenvektor [mm] $\vektor{a\\b}=\vektor{0\\1}$
[/mm]
Analog mache das für den 2.Basisvektor [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] ...
>
> sorry aber ich bin total verwirrt :(
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
ok, dann is mein 2ter vektor (-1,0) und im endeffekt meine matrix dann
M= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
stimmt das nun so ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ok, dann is mein 2ter vektor (-1,0) und im endeffekt meine
> matrix dann
>
> M= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> stimmt das nun so ?
Nein, du hast nicht aufmerksam gelesen.
Du solltest den Koeffizientenvektor, der sich zum Bild des 1.Basisvektors ergab, in die erste Spalte der Darstellungsmatrix stopfen.
Das ist [mm] $\pmat{0&\vdots\\1&\vdots}$
[/mm]
Wie lautet denn das Bild des. 2.Basisvektors unter T ?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
sorry ich hatte mich bei der matrix dick verschrieben editieren ging auch nichtmehr weil du den artikel schon bearbeitest hast. sorry dafür nochmals.
die matrix lautet(und ich hoffe ich verschreibe mich dieses mal nicht)
M= [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
sollte nun richtig sein
danke für die hilfe!
edit: ok habs wieder verkackt mit den einträgen, nun stimmts aber!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> sorry ich hatte mich bei der matrix dick verschrieben
> editieren ging auch nichtmehr weil du den artikel schon
> bearbeitest hast. sorry dafür nochmals.
>
> die matrix lautet(und ich hoffe ich verschreibe mich dieses
> mal nicht)
>
> M= [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> sollte nun richtig sein
Nach dem erneuten EDIT ja 
>
> danke für die hilfe!
>
> edit: ok habs wieder verkackt mit den einträgen, nun
> stimmts aber!
Jo
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | b) bestimmen sie die matrix von T bezüglich der geordneten basis [mm] B={a_1,a_2} [/mm] mit [mm] a_1=(1,2) a_2=(1,-1) [/mm] |
die aufgabe funktioniert nach dem gleichen muster dann oder ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> b) bestimmen sie die matrix von T bezüglich der geordneten
> basis [mm]B={a_1,a_2}[/mm] mit [mm]a_1=(1,2) a_2=(1,-1)[/mm]
> die aufgabe
> funktioniert nach dem gleichen muster dann oder ?
Jo, alles läuft völlig analog, es ist nur minimal mehr Rechnung, denn bzgl. der Standardbasis konntest du die Koeffizienten, die die Spalten der Darstellungsmatrix liefern, direktemeng ablesen.
Hier musst du sie ausrechnen ... (oder halt schärfer hingucken ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") )
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mo 25.01.2010 | | Autor: | meep |
alles klar, vielen dank schachuzipus. das war echt ne schwere geburt für mich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 10.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Sorry, aber ich bin nicht ganz mitgekommen wie man auf die rechte Seite der Matrix kommt? Kann mir das bitte nochmal jemand erklären?
|
|
|
| |
|
Hallo,
wir haben
[mm] T(\vektor{x_1\\x_2}) :=\vektor{-x_2\\x_1}
[/mm]
und wollen die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis haben.
Dafür müssen wir die Bilder der beiden Basisvektoren der Standardbasis als Koordinatenvektor bzgl der Standardbasis schreiben.
[mm] T(\vektor{1\\0}) :=\vektor{0\\1}
[/mm]
[mm] T(\vektor{0\\1}) :=\vektor{-1\\0}
[/mm]
Das sind die beiden Spalten der Matrix.
Hier ist es sehr bequem, weil wir es mit der Standardbasis zu tun haben, und die Ergebnisse gleich bzgl der richtigen Basis dastehen
Bei der Teilaufgabe b) muß man sich etwas mehr anstrengen und die Ergebnisse als Linearkombination der dortigen Basis schreiben.
LG Angela
|
|
|
|
