magisches Quadrat < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Eigentlich nicht in erster Linie eine Frage, sondern ein
Ausdruck der Freude darüber, dass im TV-Wettbewerb
"Deutschlands Superhirn 2011" eine mathematische
Leistung obenaus geschwungen hat.
Der Kandidat Robin Wersig schaffte es, ein magisches
8x8-Quadrat (also wie ein Schachbrett) blindlings auszufüllen,
wobei ihm die Zeilensumme = Spaltensumme = 747 sowie
das Startfeld vorgegeben wurden. Von diesem ausgehend,
sagte er dann alle 64 Felder und die dort zu setzende Zahl
der Reihe nach an, wobei die Reihenfolge einer Rössel-
sprungfolge über das gesamte Schachbrett folgte.
Es wäre bestimmt interessant, der Methode, die dahinter
steckt, auf die Spur zu kommen, zunächst natürlich einmal
mit kleineren Quadraten, z.B. einem 4x4-Quadrat.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mi 28.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe das auch gesehen und mich würde auch interessieren, wie das möglich ist.
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> Ich habe das auch gesehen und mich würde auch
> interessieren, wie das möglich ist.
Durchschaut habe ich es noch nicht. Insbesondere frage
ich mich noch, wie frei die Zeilensumme eigentlich
wählbar ist (deren Bestimmung habe ich verpasst).
Es ist aber anzunehmen, dass sich das Ganze auf
bestehende Arbeiten über magische Quadrate stützt.
Etwa:
http://www.hp-gramatke.de/magic_sq/german/page0080.htm
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
Leider habe ich die Sendung nicht gesehen, daher die Rückfrage, welche Bedingungen an das Quadrat genau gestellt wurden (alle Einträge verschieden, ganzzahlig, Diagonalsummen gleich den Zeilen-/Spaltensummen, weitere Bedingungen?)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Do 29.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
Die Zeilensummen und Spaltensummen sollten jeweils 747 ergeben (diese Zahl wurde vorher vom Publikum zufällig ausgesucht - 3 Zuschauer sollten jeweils eine Ziffer zwischen 0 und 9 auf eine Karte schreiben und aus den drei Karten wurde dann diese Zahl gebildet).
Alle Einträge waren verschieden.
Außerdem wurde mit einem Dartpfeil, der auf ein Schachbrett geworfen wurde, ausgewählt, wo der Kandidat beginnn muss, ich meine das war G5 auf dem Schachbrett.
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http://www.zdf.de/ZDFmediathek/beitrag/video/1525528/Deutschlands-Superhirn-2011?bc=sts;sta#/beitrag/video/1525528/Deutschlands-Superhirn-2011
Unter diesem Link kann man die Sendung anschauen. Der
Teil mit dem magischen Quadrat startet etwa beim Zeitpunkt
102 Minuten.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
Danke für den Hinweis. Leider ist mein Internetanschluss zu langsam, als dass ich mir das unter zumutbaren Bedingungen anschauen könnte.
Grundsätzlich gibt es schon ziemlich viele Möglichkeiten, Quadrate mit konstanten Zeilen- und Spaltensumme zu konstruieren. Z.B. hat jede Linearkombination von Permutationsmatrizen diese Eigenschaft.
Die Menge der 4x4-Matrizen, deren Summe über die Zeilen-, Spalten- und Diagonalen jeweils den gleichen Wert ergibt, bildet schon einen 8-dimensionalen Unterraum des Vektorraums aller 4x4-Matrizen, bei 8x8 dürfte die Dimension etwa bei 50 liegen.
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> Danke für den Hinweis. Leider ist mein Internetanschluss
> zu langsam, als dass ich mir das unter zumutbaren
> Bedingungen anschauen könnte.
Naja, ich erhalte auch nur alle anderthalb Sekunden ein
neues Bild, aber hören kann ich alles ...
Ich gebe hier mal das komplette Quadrat wieder, das
der Kandidat aufgrund der ihm vom Publikum zufällig
vorgegebenen Angabe Zeilensumme=Spaltensumme=747
erstellte. Diagonalsummen spielen keine Rolle !
[mm] $\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
108&104&85&95&82&\red{59}&121&93\\
\hline
112&102&87&123&78&74&115&\red{56}\\
\hline
97&83&106&110&\red{18}&119&134&80\\
\hline
88&126&113&101&116&128&\red{2}&73\\
\hline
105&107&96&\red{11}&133&81&94&120\\
\hline
99&\red{38}&124&90&71&77&130&118\\
\hline
86&98&\red{36}&103&122&92&79&131\\
\hline
\red{52}&89&100&114&127&117&72&76\\
\hline
\end{tabular}$
[/mm]
> Grundsätzlich gibt es schon ziemlich viele
> Möglichkeiten, Quadrate mit konstanten Zeilen- und
> Spaltensumme zu konstruieren. Z.B. hat jede
> Linearkombination von Permutationsmatrizen diese
> Eigenschaft.
> Die Menge der 4x4-Matrizen, deren Summe über die Zeilen-,
> Spalten- und Diagonalen jeweils den gleichen Wert ergibt,
> bildet schon einen 8-dimensionalen Unterraum des
> Vektorraums aller 4x4-Matrizen, bei 8x8 dürfte die
> Dimension etwa bei 50 liegen.
Für mich ist die Frage nach der Existenz solcher (halb-)
magischen Quadrate nicht die zentrale Frage, sondern
die, wie man eine Methode entwickeln kann, zu einer
vorgegebenen (offenbar recht beliebigen dreistelligen)
Summe allein durch Kopfrechnen, also ohne jegliche
Notizen, ein solches Quadrat erzeugen kann.
Ich nehme an, dass das neu erkorene "Superhirn" von
einem bestimmten Rösselsprungschema ausgeht, wo die
Zahlen 1,2,3,4, ... 64 der Reihe nach ein bestimmtes
magisches Rösselsprung-Quadrat ergeben. Ein solches
Muster kann man sich mit Übung zweifellos einprägen.
Der rechnerische Teil bestünde dann darin, aus der vor-
gegebenen Summe eine Funktion zu bestimmen, welche
aus dem Urquadrat (mit Zeilensumme 260) ein neues,
ebenfalls halb-magisches Quadrat mit der gewünschten
Summe macht.
Durch Erhöhung aller Zahlenwerte je um einen ganzzahligen
Wert k würde etwa die Zeilensumme um [mm] 8\,k [/mm] steigen.
Nur alle Zahlenwerte in einer Diagonale um 1 zu erhöhen,
würde die Zeilen- und Spaltensumme nur um 1 ansteigen
lassen. So würden aber wohl auch Zahlen in der Tabelle
mehrfach erscheinen - und dies wäre doch ein recht
schlimmer "Schönheitsfehler". Eine Frage ist also die, wie
man dies vermeiden kann.
LG Al-Chw.
Nachbemerkung:
Ich habe jetzt 8 Elemente in der Tabelle rot gefärbt. Es
handelt sich jeweils um die kleinsten Werte in der jeweiligen
Zeile und auch in der betreffenden Spalte. Wenn
man nun alle diese 8 Elemente um 3 vermehrt und alle
übrigen 56 Elemente der Tabelle um 70 vermindert, kommt
man zur neuen Tabelle:
[mm] $\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
38&34&15&25&12&\red{62}&51&23\\
\hline
42&32&17&53&8&4&45&\red{59}\\
\hline
27&13&36&40&\red{21}&49&64&10\\
\hline
18&56&43&31&46&58&\red{5}&3\\
\hline
35&37&26&\red{14}&63&11&24&50\\
\hline
29&\red{41}&54&20&1&7&60&48\\
\hline
16&28&\red{39}&33&52&22&9&61\\
\hline
\red{55}&19&30&44&57&47&2&6\\
\hline
\end{tabular}$
[/mm]
Dies ist ein (halb-) magisches Quadrat mit den Zahlen
1 bis 64 und mit Zeilensumme=Spaltensumme=260.
Das scheint also das Quadrat zu sein, von dem Robin
Wersig ausgegangen ist. Seltsam scheint, dass es sich
dabei gar nicht etwa um ein "Rösselsprung-Quadrat"
handelt. Vielleicht hat sich der Kandidat also die Aufgabe
sogar etwas schwerer gemacht, als er es hätte haben
können.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Do 29.12.2011 | | Autor: | donquijote |
> > Danke für den Hinweis. Leider ist mein Internetanschluss
> > zu langsam, als dass ich mir das unter zumutbaren
> > Bedingungen anschauen könnte.
>
> Naja, ich erhalte auch nur alle anderthalb Sekunden ein
> neues Bild, aber hören kann ich alles ...
>
> Ich gebe hier mal das komplette Quadrat wieder, das
> der Kandidat aufgrund der ihm vom Publikum zufällig
> vorgegebenen Angabe Zeilensumme=Spaltensumme=747
> erstellte. Diagonalsummen spielen keine Rolle !
>
> [mm]$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
108&104&85&95&82&59&121&93\\
\hline
112&102&87&123&78&74&115&56\\
\hline
97&83&106&110&18&119&134&80\\
\hline
88&126&113&101&116&128&2&73\\
\hline
105&107&96&11&133&81&94&120\\
\hline
99&38&124&90&71&77&130&118\\
\hline
86&98&36&103&122&92&79&131\\
\hline
52&89&100&114&127&117&72&76\\
\hline
\end{tabular}$[/mm]
>
>
> > Grundsätzlich gibt es schon ziemlich viele
> > Möglichkeiten, Quadrate mit konstanten Zeilen- und
> > Spaltensumme zu konstruieren. Z.B. hat jede
> > Linearkombination von Permutationsmatrizen diese
> > Eigenschaft.
> > Die Menge der 4x4-Matrizen, deren Summe über die Zeilen-,
> > Spalten- und Diagonalen jeweils den gleichen Wert ergibt,
> > bildet schon einen 8-dimensionalen Unterraum des
> > Vektorraums aller 4x4-Matrizen, bei 8x8 dürfte die
> > Dimension etwa bei 50 liegen.
>
> Für mich ist die Frage nach der Existenz solcher (halb-)
> magischen Quadrate nicht die zentrale Frage, sondern
> die, wie man eine Methode entwickeln kann, zu einer
> vorgegebenen (offenbar recht beliebigen dreistelligen)
> Summe allein durch Kopfrechnen, also ohne jegliche
> Notizen, ein solches Quadrat erzeugen kann.
> Ich nehme an, dass das neu erkorene "Superhirn" von
> einem bestimmten Rösselsprungschema ausgeht, wo die
> Zahlen 1,2,3,4, ... 64 der Reihe nach ein bestimmtes
> magisches Rösselsprung-Quadrat ergeben. Ein solches
> Muster kann man sich mit Übung zweifellos einprägen.
> Der rechnerische Teil bestünde dann darin, aus der vor-
> gegebenen Summe eine Funktion zu bestimmen, welche
> aus dem Urquadrat (mit Zeilensumme 260) ein neues,
> ebenfalls halb-magisches Quadrat mit der gewünschten
> Summe macht.
> Durch Erhöhung aller Zahlenwerte je um einen
> ganzzahligen
> Wert k würde etwa die Zeilensumme um [mm]8\,k[/mm] steigen.
> Nur alle Zahlenwerte in einer Diagonale um 1 zu erhöhen,
> würde die Zeilen- und Spaltensumme nur um 1 ansteigen
> lassen. So würden aber wohl auch Zahlen in der Tabelle
> mehrfach erscheinen - und dies wäre doch ein recht
> schlimmer "Schönheitsfehler". Eine Frage ist also die,
> wie
> man dies vermeiden kann.
>
> LG Al-Chw.
>
Hallo,
ein Ansatz, der sich sicher noch optimieren lässt, wäre der folgende:
Man prägt sich zunächst einmal das Quadrat von Jaenisch
(http://www.hp-gramatke.de/magic_sq/german/page0080.htm)
inklusive des Rösselsprung-Weges gut ein. Da der Weg geschlossen ist, kann man an jedem beliebigen Punkt starten.
Man stellt fest, dass von den Zahlen 49 bis 64 in jeder Zeile und jeder Spalte genau 2 vorkommen. Ist nun die geforderte Summe s gerade und [mm] \ge [/mm] 260, addiert man zu jedem dieser 16 Felder den wert [mm] \frac{1}{2}(s-260). [/mm]
Dann bleiben alle Einträge verschieden.
Ist [mm] s\ge [/mm] 269 ungerade, addiert man zunächst zu den Felden 53 bis 56 und 61 bis 64 jeweils den Wert 9 und danach wieder zu allen Feldern 49 bis 64 den Wert [mm] \frac{1}{2}(s-269).
[/mm]
Alternativ könnte man auch gleich zu den Feldern 53 bis 56 und 61 bis 64 den Wert s-260 addieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 29.12.2011 | | Autor: | pi-roland |
Hallo Al,
auch ich war überrascht, dass so eine kleine Aufgabe so viel Zustimmung im Publikum hervorruft. War aber schon schlau gemacht von ihm, dass er immer behauptete, er sei der einzige, der das kann.
Auf der Suche nach dem Geheimnis dahinter bin ich erstens hier und zweitens auf einer anderen Seite gelandet, wo erklärt wird, dass das Ganze im Grunde genommen ganz einfach ist. Die bekannte video-Seite mit y hält auch ein Video von Boris Nikolai Konrad - einem Gedächtnissportler - parat, in dem kurz und schnell erklärt wird, wie man es macht.
So wie ich es verstanden habe, wird ein normales 8x8-Quadrat mit den Zahlen 1 bis 64 benutzt. Darin werden nur 8 Felder neu berechnet, also die Differenz zwischen Zahl aus dem Publikum und normaler Zeilensumme dazu addiert. Diese acht Felder sind auch fast beliebig, da sie nur so gelegen sein müssen, dass in jeder Zeile und Spalte nur eins davon auftaucht. Das erinnert an das 8-Damen-Problem.
Als ich von dieser Aufgabe hörte (habe es auch nicht live gesehen), dachte ich noch, dass ein richtiges magisches Quadrat erzeugt werden soll, in welchem von der kleinsten Zahl bis zur größten Zahl alle fehlenden Zahlen vorkommen. Das wird aber durch die zufällige Vorgabe der Zeilen-/Spaltensumme nicht möglich sein. Witzig wäre auch eine Zeilensumme kleiner als 260 gewesen. 
Was mir aber gerade bei magischen Quadraten (und deinem Namen) noch einfällt ist die Methode mittels Rösselsprung zur Erzeugung eines magischen Quadrates. Davon hatte ich in einem Büchlein mit und über historische Aufgaben gelesen. Doch damit scheint man nicht gut weiter zu kommen, da dabei das Quadrat auf einem Torus projiziert werden muss.
Zurück zu deiner Frage: Ich denke, der Kandidat muss vorher gewährleisten, dass die Zeilensumme größer als 323 ist. Denn so muss er mindestens 63 zu den (vorher wahrscheinlich schon feststehenden Zahlen) addieren und vermeidet Dopplungen.
Andere Idee wäre, sich ein magisches Quadrat zu basteln, welches nur aus geraden Zahlen besteht und die zu erzeugende Zeilensumme soll immer ungerade sein. Dann braucht man ja nur eine ungerade Zahl in jeder Zeile/Spalte usw. (ich denke, du hast meine Idee verstanden).
Man sieht jedenfalls mal wieder, dass vieles sehr viel einfacher ist, als es vorerst den Anschein hat. (Auch ein Grund warum ich nicht gern einen Handwerker bei mir arbeiten lasse.) Man müsste nur schlauer sein, seine Fähigkeiten zu vermarkten.
Das wäre mal ein Vorsatz für das nächste Jahr...
In diesem Sinne, guten Rutsch,
[mm] \pi\mathrm{-Roland.}
[/mm]
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> Hallo Al,
>
> auch ich war überrascht, dass so eine kleine Aufgabe so
> viel Zustimmung im Publikum hervorruft.
Naja, "kleine Aufgabe" vielleicht, wenn man sich in der
Materie auskennt und zum Rechnen einen Computer
einsetzen kann. Die Lösung erfolgte aber als reine
Kopfrechnung, wohl zusammen mit gewissen mnemo-
technischen Methoden.
> War aber schon schlau gemacht von ihm, dass er
> immer behauptete, er sei der einzige, der das kann.
So aus dem Stand könnten wohl auch wirklich nicht
viele mit ihm mithalten. Mit dem nötigen Knowhow
und entsprechender Vorbereitung natürlich schon.
Mir gefiel es jedenfalls, dass da gewissermaßen eine
Lanze für die Mathematik gebrochen wurde. Nur halten
viele Leute so etwas vielleicht doch eher für eine Art
Zauberei, und die Reaktionen der Medien auf die Sendung
beschränkten sich zu mindestens 95% auf die Feststellung,
dass die Sendung eine hohe Zuschauerquote hatte und
dass Pilawa vielleicht doch Nachfolger von Gottschalk
werden sollte ...
> Auf der Suche nach dem Geheimnis dahinter bin ich erstens
> hier und zweitens auf einer anderen Seite gelandet, wo
> erklärt wird, dass das Ganze im Grunde genommen ganz
> einfach ist. Die bekannte video-Seite mit y hält auch ein
> Video von Boris Nikolai Konrad - einem Gedächtnissportler
> - parat, in dem kurz und schnell erklärt wird, wie man es
> macht.
> So wie ich es verstanden habe, wird ein normales
> 8x8-Quadrat mit den Zahlen 1 bis 64 benutzt. Darin werden
> nur 8 Felder neu berechnet, also die Differenz zwischen
> Zahl aus dem Publikum und normaler Zeilensumme dazu
> addiert. Diese acht Felder sind auch fast beliebig, da sie
> nur so gelegen sein müssen, dass in jeder Zeile und Spalte
> nur eins davon auftaucht. Das erinnert an das
> 8-Damen-Problem.
>
> Als ich von dieser Aufgabe hörte (habe es auch nicht live
> gesehen), dachte ich noch, dass ein richtiges magisches
> Quadrat erzeugt werden soll, in welchem von der kleinsten
> Zahl bis zur größten Zahl alle fehlenden Zahlen
> vorkommen. Das wird aber durch die zufällige Vorgabe der
> Zeilen-/Spaltensumme nicht möglich sein.
Das ginge wirklich nicht.
> Witzig wäre auch
> eine Zeilensumme kleiner als 260 gewesen.
Bei diesem Punkt habe ich mich auch gefragt, wie die
dreistellige Zahl genau zu ermitteln war. Vielleicht gab es
da (um unliebsame Fälle auszuschließen) etwa noch die
versteckte Abmachung, dass z.B. die größte der 3
Ziffern vorne stehen solle ...
> Was mir aber gerade bei magischen Quadraten (und deinem
> Namen) noch einfällt ist die Methode mittels Rösselsprung
> zur Erzeugung eines magischen Quadrates. Davon hatte ich in
> einem Büchlein mit und über historische Aufgaben gelesen.
> Doch damit scheint man nicht gut weiter zu kommen, da dabei
> das Quadrat auf einem Torus projiziert werden muss.
>
> Zurück zu deiner Frage: Ich denke, der Kandidat muss
> vorher gewährleisten, dass die Zeilensumme größer als
> 323 ist. Denn so muss er mindestens 63 zu den (vorher
> wahrscheinlich schon feststehenden Zahlen) addieren und
> vermeidet Dopplungen.
> Andere Idee wäre, sich ein magisches Quadrat zu basteln,
> welches nur aus geraden Zahlen besteht und die zu
> erzeugende Zeilensumme soll immer ungerade sein. Dann
> braucht man ja nur eine ungerade Zahl in jeder Zeile/Spalte
> usw. (ich denke, du hast meine Idee verstanden).
Die vorgegebene Summe 747 übertrifft die minimale Summe
260 um 487. Das ist 487=7*70-3 . Um vom Grundquadrat
(mit den Zahlen 1 bis 64) zu einem Quadrat mit den gewünschten
Summen zu kommen, sollte man also in jeder Zeile (und Spalte)
7 Zahlenwerte um je 70 erhöhen und einen Wert um 3 vermindern.
Die 8 zu vermindernden Werte müssen auf dem Schachbrett so
wie 8 Damen im "Damenproblem" verteilt sein, und die dort
stehenden Zahlenwerte sollten je wenigstens 3 (oder 4) betragen.
Wie man sich nun den ganzen Prozess merken soll (Original-
Quadrat und "Damenwahl" und Rösselsprungfolge), stellt doch
noch ein paar nicht ganz triviale Anforderungen an den, der
das Ganze "blind" und ohne Notizen vorführen will.
Auch wenn ich jetzt so der Spur nach sehe, wie Robin Wersig
prinzipiell wohl vorgegangen sein könnte, würde ich seine
Leistung keineswegs geringschätzen. Für mich war er jedenfalls
seinen Konkurrenten klar überlegen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Fr 30.12.2011 | | Autor: | pi-roland |
Hallo Al,
zur Wahl der Ziffern noch ein paar Gedanken. Wenn Personen gebeten werden, eine zufällige Ziffer aufzuschreiben, dann ist das recht häufig die 7, 3 oder 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine hohe Ziffer dabei ist, ist demnach recht groß. Danach durfte der Jörg die Ziffern anordnen. Da hätte er eine niedrige Ziffer auch leicht als Einer oder Zehner nutzen können.
Vom Merken (als Gedächtnisleistung) ist der Aufwand hier etwas geringer als bei den Zugstrecken. Dafür musste er noch etwas rechnen. Dass die Zahlen teilweise so schnell nacheinander kamen, liegt bestimmt an dem vorher auswendig gelernten Zahlenquadrat.
Wahrscheinlich muss ich doch mal sein Quadrat genauer analysieren. 
Deine Methode passt relativ gut zu seiner Lösung. Mich wundert es nur immer noch, dass er mit 2 angefangen hat.
Wie dem auch sei, Robin hat schon was geleistet und das will ich auch nicht in Abrede stellen. Er braucht wahrscheinlich auch das Geld, wenn er jetzt in eine eigene Wohnung zieht.
Einen guten Rutsch wünsche ich dir und bleib schön neugierig,
[mm] \pi-\mathrm{Roland}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 04.01.2012 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo an alle Interessierten,
heute ist ein ![[]](/images/popup.gif) SPON-Artikel dazu erschienen. Ich hatte bisher noch nicht die Gelegenheit, ihn genauer zu lesen. Jedenfalls wird dort das Vorgehen erklärt.
LG
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> Hallo an alle Interessierten,
>
> heute ist ein
> SPON-Artikel
> dazu erschienen. Ich hatte bisher noch nicht die
> Gelegenheit, ihn genauer zu lesen. Jedenfalls wird dort das
> Vorgehen erklärt.
>
> LG
Was dort erklärt wird, entspricht dem, was ich da als
Nachbemerkung geschrieben habe. Die nach diesem Muster
noch zu bewältigenden Gedächtnisleistungen wären für
mein eigenes Hirn immer noch mindestens eine Nummer
zu groß - ich würde es eher dafür einsetzen, zuerst
mal in Ruhe eine Methode auszudenken, die am Ende
mit deutlich weniger Gedächtnisleistung auskommt.
Vielleicht lacht sich jetzt ja auch Robin Wersig über
den Spiegel-Artikel ins Fäustchen, weil sein eigentlicher
Trick darin noch gar nicht aufgedeckt ist ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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