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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Fr 02.11.2007 | | Autor: | coolman |
| Aufgabe | Seien M,N,X, Y Mengen. M und X seien gleichm¨achtig, N und Y seien
gleichmaechtig. Zeigen Sie
(a) M × N und X × Y sind gleichmaechtig.
(b) Es seien M und N disjunkt, sowie X und Y disjunkt. Dann sind M vereinigt N und X vereinigt Y
gleichmaechtig.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hier habe ich zuerst gezeigt , dass M und X bzw N und Y bijektiv sind( aufgrund der gleichmächtigkeit)
dann habe ich mir weiter überlegt, dass ich zeigen muss dass die kartsischen produkte bzw die diskunkten mengen untereinader wieder um bijektiv sein müssen, damit man gleichmächtigkeit beweisen kann...nur mir fehlen einfahc die mittel gerade bei aufgabenteil b) wäre ein ansatz shcon so hilfreich...danke im voraus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Seien M,N,X, Y Mengen. M und X seien gleichm¨achtig, N und
> Y seien
> gleichmaechtig. Zeigen Sie
> (a) M × N und X × Y sind gleichmaechtig.
> (b) Es seien M und N disjunkt, sowie X und Y disjunkt. Dann
> sind M vereinigt N und X vereinigt Y
> gleichmaechtig.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hier habe ich zuerst gezeigt , dass M und X bzw N und Y
> bijektiv sind( aufgrund der gleichmächtigkeit)
Gezeigt? - Aufgrund der Aufgabenstellung darfst Du annehmen, dass es bijektive Abbildungen $\psi_{MX}: M\rightarrow X$ und $\psi_{NY}: N\rightarrow Y$ gibt. Zeigen musst Du bis hierher noch gar nichts.
Ich kann Dir nur empfehlen, beim Versuch, eine solche Aufgabe zu lösen, laufend mit geeigneten Benennungen, die Voraussetzungen hinzuschreiben, auf die Du Dich beim Beweis der fraglichen Behauptungen stützen darfst.
Mit anderen Worten: lagere wichtige Information aufs Papier aus, d.h. "denke mit Hilfe des Papiers"...
> dann habe ich mir weiter überlegt, dass ich zeigen muss
> dass die kartsischen produkte bzw die diskunkten mengen
> untereinader wieder um bijektiv sein müssen,
Um zu beweisen, dass $M\times N$ und $X\times Y$ gleichmächtig sind, hast Du nun (unter Verwendung der nach Voraussetzung existierenden bijektiven Abbildungen $\psi_{MX}$ und $\psi_{NY$) eine bijektive Abbildung $\psi:M\times N \rightarrow X\times Y$ anzugeben. Etwa folgende:
$\psi(m,n) := \big(\psi_{MX}(m),\psi_{NY}(n)\big)$
> damit man
> gleichmächtigkeit beweisen kann...nur mir fehlen einfahc
> die mittel gerade bei aufgabenteil b) wäre ein ansatz shcon
> so hilfreich...danke im voraus
Entsprechend musst Du bei b) eine bijektive Abbildung $\psi: M\cup N\rightarrow X\cup Y$ angeben. Wegen der Disjunktheit von $M$ und $N$ bzw. der Disjunktheit von $X$ und $Y$ gelingt dies durch Fallunterscheidung:
[mm]\psi(z) := \begin{cases}\psi_{MX}(z) & \text{falls $z\in M$}\\
\psi_{NY}(z) & \text{falls $z\in N$}\end{cases}[/mm]
Nachzuweisen, dass es sich hier wirklich um wohldefinierte und bijektive Abbildungen der benötigten Art handelt, überlasse ich Dir...
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