m*Z \cap n*Z = kgV(m,n)*Z < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 25: (Untergruppen von [mm] \IZ [/mm] )
Seien m, n [mm] \in \IZ \setminus [/mm] {0} . Zeigen Sie, dass m* [mm] \IZ \cap [/mm] n* [mm] \IZ [/mm] = kgV(m,n) * [mm] \IZ [/mm] und m* [mm] \IZ [/mm] + n* [mm] \IZ [/mm] = ggT(m,n)* [mm] \IZ [/mm] ist.
Hinweis: kgV bzw. ggT bezeichnen das kleinste gemeinsame Vielfache bzw. den größten gemeinsamen Teiler.
Sie können (ohne Beweis) ausnutzen, dass für k [mm] \in \IZ [/mm] mit k|m und k|n auch k|kgV(m,n) gilt. |
Hallo,
ich verstehe nicht, was [mm] m*\IZ [/mm] sein soll.
Ist das die Menge aller Vielfachen von m?
Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 So 22.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die Antwort schon selbst hingeschrieben, [mm] m*\IZ [/mm] sind alle positiven und negativen Vielfachen von m
Gruß ledum
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Hallo leduart,
danke für die Bestätigung.
Also nur nochmal um es klarzustellen,
[mm] m*\IZ [/mm] könnte man auch so schreiben:
{... -1*m, 0*m, 1*m, 2*m ...}
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 So 22.05.2016 | | Autor: | leduart |
Ja
Gute Nacht , leduart
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Seien m, n [mm] \in \IZ \setminus [/mm] {0}
z.z.: [mm] m*\IZ \cap n*\IZ [/mm] = [mm] kgV(m,n)*\IZ
[/mm]
Beweis:
[mm] \forall [/mm] x: [mm] x\in m*\IZ \cap n*\IZ \gdw x\in kgV(m,n)*\IZ
[/mm]
Rückrichtung [mm] \Leftarrow
[/mm]
Sei [mm] x\in kgV(m,n)*\IZ \Rightarrow [/mm] x=q*kgV(m,n) und
[mm] kgV(m,n)=q_{m}*m [/mm] und
[mm] kgV(m,n)=q_{n}*n
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=q*q_{m}*m [/mm] und [mm] x=q*q_{n}*n
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=q_{1}*m \wedge x=q_{2}*n
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in m*\IZ \cap n*\IZ
[/mm]
Vorwärtsrichtung [mm] \Rightarrow
[/mm]
Sei [mm] x\in m*\IZ \cap n*\IZ, [/mm] zeige [mm] x\in kgV(m,n)*\IZ [/mm] bzw. x=q*kgV(m,n)
[mm] x=q_{1}*m
[/mm]
[mm] x=q_{2}*n
[/mm]
Satz von der Division mit Rest
x=y*kgV(m,n)+r mit [mm] 0\le [/mm] r<kgV(m,n)
Annahme: r>0
[mm] q_{1}*m=y*q_{3}*m+r \Rightarrow [/mm] m|r
[mm] q_{2}*m=y*q_{4}*n+r \Rightarrow [/mm] n|r
Widerspruch deshalb, weil sonst r das kgV wäre.
[mm] \Rightarrow [/mm] r=0
Daher x=y*kgV(m,n) und daher auch
[mm] x\in kgV(m,n)*\IZ
[/mm]
Ist das so richtig?
Sind irgendwelche Formulierungen schlecht oder schlicht falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:21 Di 24.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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