lokale umkehrbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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okay es geht darum: ich hab eine aufgabenstellung und gefragt is nach den punkten, an denen die später genannte funktion lokal umkehrbar ist....ich hab die matrix mir mal angeschaut und festgestellt das sie in eine gewisse richtung geht, nämlich das die funktion l(x) darstellbar ist als A(x) mit A als matrix, und die funktion wäre umkehrbar an allen punkten wenn gelten würde das l(x) lineare abbildung, sowie det(A) [mm] \not= [/mm] 0 wäre, 2tes hab ich schon gezeigt, da die matrix glücklicherweise s konzipiert ist, das det(A)=1 ist, letzendlich fehlt mir nurnoch der beweis zur linearität dieser abbildung, aber der will mir einfach nicht in den schädel, über hilfe würd ich mich freuen.
hier die aufgabe: f(x,y,z)= [mm] \pmat{cos(z) & -sin(z)cos(x) & sin(z)sin(x) \\ sin(z) & cos(z)cos(x) & -cos(z)sin(x) \\ 0 & sin(x) & cos(x) }* \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> letzendlich fehlt mir nurnoch der
> beweis zur linearität dieser abbildung, aber der will mir
> einfach nicht in den schädel, über hilfe würd ich mich
> freuen.
Das ist auch kein Wnder - das untenstehende ist auch nicht linear! Aber du bist wahrscheinlich schon sehr nah dran: wenn du eine Funktion hast und sie hinreichend oft stetig diff.bar ist (und die ist ja unedlich oft diffb.), dann ist sie in den Punkten lokal umkehrbar nach dem Umkehrsatz, wenn die Jacobi-Matrix in dem Punkt ein Isomoprhismus ist. Also einfach die Dteriminante der Jacobi-Matrix ausrechnen - und dann in Abhängigkeit von x,y,z bestimmen, wo diese o, bzw. ungleich 0 ist. Alles klar? Kommst du so alleine weiter?
SEcki
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mmh....das hatte ich auch als grundidee...dummerweise wird die jacovi matrix nen stück riesig und ich weiss nich ob die nullstellen von der determinante leicht zu finden sind, ich kanns letzendlich nur hoffen, deshalb hab ich gehofft es würde auf eine einfachere art un weise gehen...und da fiel mir dieses kriterium ins auge was zugegebenermassen durchaus passend auf dieses beispiel aussieht, wäre da nicht die linearität....
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Hallo, du solltest es so machen wie der Poster voir mir es gesagt hat. Wir hatten diese Abbildung auch in diesem Semster und es ist eigentlich ganz einfach. Determinante ausrechnen und fertig.
Grüße
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mh wenns einfach geht is ja ok...ich hab bisher die jacobi matrix ausgerechnet un zum teil kommen stellen vor mit bis zu 4 summanden, wenn ich davon dann die determinante ausrechne un das 0 setze....phew.....ich weiss nich ob das was wird ^^..aber egal....man hat ja sonst nix zu tun -.-.....nur klausur nächten donnerstag
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Hallo.
Wie von meinen Vorgängern und auch von dir selbst richtig bemerkt, ist es nötig, zu zeigen, daß [mm] $\det J_f(x_0)\not=0$ [/mm] ist.
Dies hat sich ja nun erledigt.
Wenn ich dich richtig verstehe, machst Du dir jetzt also Gedanken darüber, ob die Ableitung auch linear ist.
Da die Funktion jedoch differenzierbar ist, ist die Ableitung automatisch linear, da dann [mm] $\operatorname{D}f(x_0)[x]=\operatorname{J}_f(x_0)*x$ [/mm] gilt.
Die Frage, die Du dir gestellt hast, also, ob
$(x,y,z) [mm] \mapsto \pmat{cos(z) & -sin(z)cos(x) & sin(z)sin(x) \\ sin(z) & cos(z)cos(x) & -cos(z)sin(x) \\ 0 & sin(x) & cos(x) }\cdot{} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $ linear ist, ist also einfach falsch gestellt.
Wie schon richtig bemerkt, ist diese Abbildung sicher nicht linear.
Es muß ja auch vielmehr heißen:
$(x,y,z) [mm] \mapsto \pmat{cos(z_0) & -sin(z_0)cos(x_0) & sin(z_0)sin(x_0) \\ sin(z_0) & cos(z_0)cos(x_0) & -cos(z_0)sin(x_0) \\ 0 & sin(x_0) & cos(x_0) }\cdot{} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $, für festes [mm] $(x_0,y_0,z_0)$, [/mm] und das ist ganz sicher linear.
Gruß,
Christian
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