lokale injektivität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi,
kann mir jemand erklären, was genau lokale injektivität bedeutet und warum eine funktion deren ableitung in einem Punkt $z [mm] \in [/mm] C$ = 0 ist, nicht lokal injektiv und somit schon gar nicht injektiv sein kann?
vielen dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Stimm diese Aussage überhaupt?
Nehme [mm] $f(x)=x^{3}$, [/mm] dann ist [mm] $f'(x)=3x^{2}$ [/mm] und die Ableitung ist für $f'(0)=0$. Aber [mm] $x^{3}$ [/mm] ist definitiv injektiv.
Ansonsten würde ich sagen:
Gilt zusätzlich, dass [mm] $f''(x_{E}) \not= [/mm] 0 (wie bei [mm] $f(x)=x^{3}$ [/mm] nicht der Fall), so befindet sich an der Stelle [mm] $x_{E}$ [/mm] ein Extremwert (und nicht nur ein Sattelpunkt wie bei [mm] $f(x)=x^{3}$) [/mm] und somit ist die Funktion um den Extremwert herum nicht lokal injektiv. Ich denke das ist anschaulich klar...
lg musesician
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Di 08.06.2010 | | Autor: | w3rk3rhund |
| Aufgabe | | f, g holomorph im offenen Einheitskreis D. es gebe ein zo aus D, sodass $f'(zo) - g'(zo) = 0$. zeigen sie, dass es z1,z2 in D, z1, z2 verschieden, gibt, so dass $f(z1) - f(z2) = g(z1) - g(z2)$ |
lsg:
sei h:= f-g. dann ist $h'(zo) = f'(zo) - g'(zo) = 0$. dies bedeutet, dass h in zo nicht lokal injektiv ist und somit erst recht nicht injektiv on D ist.
das ist die aufgabe und der erste teil der lösung. daher stammt die aussage...
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> Stimm diese Aussage überhaupt?
> Nehme [mm]f(x)=x^{3}[/mm], dann ist [mm]f'(x)=3x^{2}[/mm] und die Ableitung
> ist für [mm]f'(0)=0[/mm]. Aber [mm]x^{3}[/mm] ist definitiv injektiv.
Vorsicht !
Es geht offenbar nicht um Funktionen, die nur auf [mm] \IR
[/mm]
definiert sind, sondern auf [mm] \IC [/mm] (oder einer Menge, die
wenigstens eine komplexe Umgebung der betrachteten
Stelle z enthält !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 08.06.2010 | | Autor: | musesician |
Ja stimmt, mein Fehler, ich hab das [mm] $\IC$ [/mm] übersehen...
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was mich mit meiner frage aber immer noch nicht wirklich weiter bringt.. ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
https://matheraum.de/read?i=691175
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> hi,
> kann mir jemand erklären, was genau lokale injektivität
> bedeutet
Sei G ein Gebiet in [mm] \IC [/mm] und f auf G holomorph. f heißt auf G lokal injektiv, wenn es zu jedem [mm] z_0 [/mm] in G eine Umgebung [mm] U(z_0) [/mm] von [mm] z_0 [/mm] gibt mit:
[mm] U(z_0) \subseteq [/mm] G und f ist auf [mm] U(z_0) [/mm] injektiv.
> und warum eine funktion deren ableitung in einem
> Punkt [mm]z \in C[/mm] = 0 ist, nicht lokal injektiv und somit
> schon gar nicht injektiv sein kann?
Ihr hattet sicher den folgenden
Satz: eine holomorphe und inkektive Funktion hat eine nullstellenfreie Ableitung
FRED
> vielen dank schonmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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