lokale gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei E eine konvexe Funktion mit Definitionsbereich [mm] \mathbb{R}. [/mm] Sei [mm] p\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}) [/mm] und [mm] p_{n}(s)=np(ns) [/mm] und [mm] p\geq0. [/mm]
Behauptung: Die Funktionen [mm] E_{n}=E \ast p_{n}=\int_{\mathbb{R}}E(y)p_{n}(\cdot-y)dy [/mm] sind alle in [mm] C^{\infty}, [/mm] sie sind konvex und weiterhin konvergiert [mm] E_{n} [/mm] lokal gleichmäßig gegen E. |
Hallo,
ich finde das schwierig. Ich sehe eigentlich nicht, warum auch nur eine der Behauptungen gelten sollte. Wieso ist das z.B. unendlich oft differenzierbar? Oder gibt es irgendein Theorem, dass mir diese Eigenschaften liefert? Ich habe bisher nichts darüber gefunden. Wenn das [mm] E_{n} [/mm] unendlich oft diffbar ist, und die zweite Ableitung größer gleich 0, dann ist [mm] E_{n} [/mm] konvex. Das kann ich aber nicht so einfach einsehen.
Und das mit der lokal gleichmäßigen Konvergenz scheint mir am schwierigsten zu sein. Wenn ich mir ein [mm] x\in\mathbb{R} [/mm] hernehme, dann müsste es eine Umgebung U um x geben, sodass [mm] \underset{n\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\underset{x\in\mathbb{R}\cap U}{\sup}|E_{n}(y)-E(y)|=0. [/mm] Wie soll ich das aber feststellen? Es ist alles etwas verwirrend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Sa 18.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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