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| Aufgabe | Man bestimme die lokalen Extrema & Sattelpunkte der Funktion:
[mm] f(x,y)=x^{3}+4y^{3}-3x{2}-y+1 [/mm] |
Folgende Rechenschritte hab ich schon gemacht:
f'(x): [mm] 3x^{2}-6x
[/mm]
\ f''(x): 6x-6
\ f'(y): [mm] 12y^{2}-1
[/mm]
\ f''(y):24y
\ f(xy)=0
\ f(yx)=0
Dann habe ich die HesseMatrix gebildet:
[mm] \begin{pmatrix} 6x-6 & 0 \\ 0 & 24y \end{pmatrix} [/mm]
Nächster Schritt: Nullstellen von f'(x) und f'(y) ausgerechnet
[mm] x_1= [/mm] 0
[mm] x_2= [/mm] 2
[mm] y_1=+\wurzel{\bruch{1}{12}}
[/mm]
[mm] y_2=-\wurzel{\bruch{1}{12}}
[/mm]
Was muss ich als nächstes tun?
ich würde die einzelne nullstellen in die HesseMatrix einsetzen, dann die determinante berechnen, ist diese > 0 dann muss ich noch entscheiden ob MIN oder MAX und ist die Determinante <0 dann ist es ein Sattelpunkt!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo skatoffel,
> Man bestimme die lokalen Extrema & Sattelpunkte der
> Funktion:
> [mm]f(x,y)=x^{3}+4y^{3}-3x{2}-y+1[/mm]
> Folgende Rechenschritte hab ich schon gemacht:
>
> f'(x): [mm]3x^{2}-6x[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besser aufgeschrieben: [mm]f_x(x,y)=3x^2-6x[/mm]
> \ f''(x): 6x-6
[mm]f_{xx}(x,y)=...[/mm]
> \ f'(y): [mm]12y^{2}-1[/mm]
[mm]f_y(x,y)=...[/mm]
> \ f''(y):24y
[mm]f_{yy}(x,y)=...[/mm]
> \ f(xy)=0
[mm]f_{xy}(x,y)=0[/mm]
> \ f(yx)=0
[mm]f_{yx}(x,y)=0[/mm]
>
> Dann habe ich die HesseMatrix gebildet:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 6x-6 & 0 \\
0 & 24y \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nächster Schritt: Nullstellen von f'(x) und f'(y)
> ausgerechnet
>
> [mm]x_1=[/mm] 0
> [mm]x_2=[/mm] 2
> [mm]y_1=+\wurzel{\bruch{1}{12}}[/mm]
> [mm]y_2=-\wurzel{\bruch{1}{12}}[/mm]
>
> Was muss ich als nächstes tun?
> ich würde die einzelne nullstellen in die HesseMatrix
> einsetzen, dann die determinante berechnen, ist diese > 0
> dann muss ich noch entscheiden ob MIN oder MAX und ist die
> Determinante <0 dann ist es ein Sattelpunkt!
Mit den errechneten "Nullstellen" hast du die kritischen Punkte
[mm](x_1,y_1)=(0,\frac{1}{\sqrt{12}}), (x_2,y_2)=(0,-\frac{1}{\sqrt{12}}), (x_3,y_3)=(2,\frac{1}{\sqrt{12}}), (x_4,y_4)=(2,-\frac{1}{\sqrt{12}})[/mm]
Nun ist die Hessematrix an diesen 4 Stellen auszuwerten.
Es gilt, die Definitheit der Hessematrix an diesen Stellen zu bestimmen.
Dazu kannst du das Verfahren mit der Determinante hernehmen (das geht, weil du hier eine [mm]2\times 2[/mm]-Matrix hast)
Es gibt aber auch alternative Wege, die Definitheit einer Matrix zu bestimmen, das solltest du dir mal ansehen (gerade für den Fall, wenn du mal eine "größere" Hessematrix hast).
Nochmal: das mit der Det. geht hier nur wegen der [mm]2\times 2[/mm]-Matrix!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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