lokal kompakter Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In einem lokal kompakten topologischen Raum ist eine Menge abgeschlossen genau dann, wenn ihr Durchschnitt mit jeder kompakten Menge kompakt ist. |
Hi
Unsere Definition von lokal kompakt lautet:
Ein lokal kompakter topologischer Raum ist ein Hausdorff Raum, in dem jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.
Also die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] habe ich bereits, wobei ich da weder die Abgeschlossenheit noch die lokale kompaktheit gebraucht habe:
Sei $X$ lokal kompakter topologischer Raum und seien $A [mm] \subset [/mm] X$ beliebige Teilmenge und $B [mm] \subset [/mm] X$ beliebige kompakte Teilmenge.
zu zeigen ist, dass $A [mm] \cap [/mm] B$ kompakt ist.
Da $B$ kompakt ist, hat $B$ eine endliche offene Teilüberdeckung für alle offenen Überdeckungen, also
$B [mm] \subset \cup_{i = 1}^n U_i$
[/mm]
also $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset \cup_{i = 1}^n U_i$
[/mm]
und somit ist der Schnitt auch kompakt.
Ist das ok so?
Die Rückrichtung bereitet mir Kopfschmerzen.
Hier benötige ich wohl die lokale Kompaktheit und evtl die Hausdorff Eigenschaft. Alles was ich zeigen kann ist:
Sei $A [mm] \subset [/mm] X$ beliebig und es soll gelten dass $A [mm] \cap [/mm] B$ kompakt ist für alle kompakten $B [mm] \subset [/mm] X$
Da $B$ kompakt ist, also nach unserer Definition insbesondere ein Hausdorff -Raum ist und $A [mm] \cap [/mm] B$ kompakt und $ A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] B$, dann folgt nach einem Satz: $ A [mm] \cap [/mm] B$ ist abgeschlossen. Also falls A Teilmenge von B ist, dann folgt die Behauptung, aber falls dem nicht so ist, dann weiss ich nicht mehr weiter...
Kann mir jemand bitte helfen?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:36 Sa 05.05.2018 | | Autor: | superbad |
Ok ich habe gerade gemerkt, dass meine Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] so nicht stimmt, werde ich nochmal überarbeiten müssen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 07.05.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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