lokal global Max. Unterschied < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Guten Abend,
ich möchte den Unterschied zwischen globales u. lokales Maximum wissen. |
Bei wiki mal geschaut u. folgendes notiert:
globales Max. = absolutes Max.
lokales Max. = relative Max.
Dann
globales u. lokales sind analog definiert.
Ich weiß nicht genau, was das heißen soll.
Analog heißt sowas wie entsprechend.
Ich ziehe daraus den Schluss, dass alle 4 Begriffe im Grunde genommen identisch sind:
globales Max.= ablsoutes Max. = lokales Max. = relatives Max.
Dennoch habe ich Zweifel.
Ich weiß, dass Extrema HP u. TP sind u. dass die Steig. dort immer Null ist.
Ich hoffe sehr, es wird nicht zu kompliziert u. ist hoffentl. schnell u. einfach beantw. (muss noch soviel machen)
Für Antw. u. Hilfe vielen DANK im voraus.
Sabine
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Hallo Sabine,
deine Vermutung, lokale und globale Extrema wären das gleiche, ist so nicht richtig.
Ma unterteilt Extremwerte zum einen in lokale und globale Extremwerte, zum anderen unterscheidet man innere E. und sog. Randextrema.
Ich möchte das mal bildhaft erklären. Angenommen, eine Etappe der Tour de France geht über drei Alpenpässe mit den Höhen 1600m, 1800m und 2000m. Die ersten beiden Passhöhen sind lokale Maxima, die letzte ist global: sie ist die höchste von allen.
Nehmen wir nun weiter an, dass die Etappe irgendwo harmlos im Flachland begonnen hat und im Anstieg des letzen Passes, eben auf 2000m endet. Die ersten beiden Pässe werden dann so überfahren, dass die Fahrer ganz oben für einen kurzen Moment waagerechtes Terrain passieren. Dies entspricht in der Mathematik einer waagerechten Tangente und man nennt so etwas einen inneren Extremwert. !m Zielort jdoch steigt die Straße nach wie vor. Die Etappe ist aber zu Ende und ein höchster Punkt erreicht. In der Mathematik wäre so etwas am Rand des Definitionsbereichs einer Funktion denkbar, daher nennt man solche Extremwerte 'äußere Extrema'.
Alles Gesagte gilt gleichermaßen für Hoch- und Tiefpunkte, und wie immer hoffe ich, dass es dir ein Stück weitergeholfen hat. 
Gruß, Diophant
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Hallo!
Neee, so nicht.
f'(x) gibt dir an, wie stark f(x) fällt/zunimmt. Da, wo f'(x)=0 gilt, ist f(x) exakt waagerecht, also wir da ein Extemum sein. So weit sind wir ja schon.
Jetzt stell dir ein Minimum vor. Die Steigung, also f'(x), ist anfangs negativ, und geht dann über ins positive. Das heißt, f'(x) muß selber eine positive Steigung haben, d.h. f''(x) muß positiv sein.
Damit überprüfst du aber nur, ob es ein Minimum oder ein Maximum ist.
Du mußt die gefundenen x-Werte noch in f(x) einsetzen, und bekommst dadurch raus, welche Maxima/minima in welcher Höhe liegen. Daras bekommst du vorerst die Info, welches als globales Minimum/Maximum in Frage kommt.
Aber: Die Parabel 3. Grades $(x-1)*x*(x+1)_$ hat bei [mm] \pm [/mm] 1 Nullstellen, dazwischen liegt je ein Minimum/Maximum. Wären beide theoretisch global, ALLERDINGS verläuft die Funktion gegen [mm] -\infty [/mm] für [mm] x\mapsto-\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] für [mm] x\mapsto+\infty [/mm] . Es gibt also keinen höchsten Funktionswert, und damit keine globalen Minima/Maxima.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Event_Horizon,
>Jetzt stell dir ein Minimum vor.
Hab eins hier hingepinselt.
>Die Steigung, also f'(x), ist anfangs negativ,
ja, wenn ich auf der linken Hälfte eine Tangente anlege, dann ist deren Steig. fallend
>und geht dann über ins positive.
jup
>Das heißt, f'(x) muß selber eine positive Steigung haben, d.h. f''(x) muß positiv sein.
W A R U M ?
Versuche selbst dahinter zu kommen.
Aus deinem Minimum mache ich [mm] g(x)=x^2 [/mm] und g´(x)=2x und zeichne beides
Und jetzt schwindelts mir - ich komme ja so dermaßen durcheinander.
Einerseits sehe ich genau DAS, was du sagst, und gleichzeitig sehe ich Widersprüche. Ich bin auch genervt u. gefrustet. Emotionale Blockade kommt dazu, dann dauert alles 3 oder 4x so lang.
Die links ans Minimum angelegte Tangente zeigt die Steig. in dem Pkt der Kurve. Die Steig. dieser Tangente ist fallend.
Schau ich die Parabel [mm] x^2 [/mm] an u. sehe die Ableitgs.-Fkt. dann ist die aber steigend. Und zwar immer.
>D.h. f''(x) ist eine Fkt. mit pos. Steig.
Ich weiß gar nicht, ob mir überhaupt geholfen werden kann.
Ich warts mal ab.
Ableitg. gibt die Steig. an, dass weiß ich schon lange u. der Ableitgs.Graph aus dem kann man wunderbar sofort immer die Steig. der Ausgangs-Fkt. ablesen.
Aber, was ALLES hinter dem Ableiten steckt, vor allem mehrfach differenzieren, das muss ich mir wohl jetzt aneignen, bzw. zumindest mal damit anfangen.
Gruß
Sabine
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Hallo!
Erstmal ja, man gerät schnell mal durcheinander, und hier gehts um die Ableitung einer Ableitung und so.
Du mußt folgendes begreifen: f'(x) ist genauso wie f(x) eine Funktion, und die hat selber auch sowas wie ne Steigung.
Guck mal:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Erstmal:
Globales Minimum bei x=-1, lokales bei 3.
Maximum bei 1,8 aber nicht global, weil die Funktion rechts und links nach [mm] +\infty [/mm] geht. Das war ja die anfängliche Frage von dir.
Beachte: Bei den Extrema wechselt die Steigung f'(x) von positiv nach negativ, oder umgekehrt. Wie rum der Wechsel ist, bestimmt, ob es ein Minimum oder ein Maximum ist.
Jetzt ist es aber oft etwas frickelig, herauszufinden, ob die Funktion vorher/nachher positiv/negativ ist etc.
Du kannst aber sagen: Wechsel von negativ nach positiv heißt, daß f'(x) dort auch immer größer wird. f'(x) muß selber also auch ne positive Steigung haben, also muß f''(x) größer als 0 sein.
Denk dran, es gibt noch Wendestellen, bzw Sattelpunkte ( z.B. bei [mm] x^3 [/mm] ), da wirds ncoh was komplizierter.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 08.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Event_Horizon,
Du schriebst, dass ich begreifen muss, dass die Ableitg. einer Fkt. auch wieder eine Fkt. ist, die auch ein Steig.verhalten hat. Das weiß ich. Aber kann es sein, dass es nicht reicht, es einfach nur zu wissen? Kann es sein, dass mir die scheinbar gewaltige Bedeutg. dessen nicht wirklich klar ist?
(nur so nebenbei: Was hat man denn für eine Fkt., wenn man eine konstante Fkt. ableiten wollte? Einen Punkt?)
Okey, wie auch immer, ich mache mich jetzt dran den Satz "jede Ableitg. ist selbst eine Fkt. mit eig. Steig." mehr zu BEGREIFEN:
> Globales Minimum bei x=-1, lokales bei 3.
> Maximum bei 1,8 aber nicht global, weil die Funktion rechts
> und links nach [mm]+\infty[/mm] geht.
Freude, ja, genau das sehe ich.
Globales Min. bei x= -1 Wenn nun der Graph links von x= -1, (jetzt im Bild nicht sichtbar), wenn der Graph die x-Achse von II. in III. Quadranten schneidet u. auch wenn KEIN weiteres Min. folgt, dann ist bei x= -1 kein globales Min. mehr.
Ja, habe ich das so richtig verstanden?
Max. bei 1,8 aber nicht global, weil die Fkt. re u. li nach plus unendlich geht.
Ich glaube ich habs:
Deswegen heißt es auch absolut. Mehr geht nicht; es ist DER Gipfel u. li u. re daneben gibt es nichts mehr, mal ganz unmathematisch gesprochen.
Mit Marcels Worten (der Vorredner) sinngemäß: Bei einem globalem Maximum ist der höchste Fkt.-wert erreicht, den die Fkt. jemals haben kann.
> Bei den Extrema wechselt die Steigung f'(x) von positiv
> nach negativ, oder umgekehrt. Wie rum der Wechsel ist,
> bestimmt, ob es ein Minimum oder ein Maximum ist.
Ja, das kann ich mir auch wunderbar vorstellen.
Bis hier her, wage ich zu sagen, dass ich es soweit verstanden habe.
Aber jetzt kommt ein Satz, da stoppts:
> Ein Wechsel von neg. nach pos. heißt, daß f '(x) dort auch
> immer größer wird.
Berechng. der Extrema: Erste Ableitg.=0, dann habe ich sie alle: Min. u. Max.; aber welcher ist was für einer? Dazu zweite Ableitg. u. die Werte von vorher da einsetzen. Und jetzt kann man wieder so herrlich leicht verwechseln. Ich habs mir so gemerkt: Bei einem Max. würde man nun denken, y>0, Betonung liegt auf GRÖSSER, weil es doch ein MAX. ist, aber es ist genau UMGEKEHRT.
So, das habe ich schön gelernt. Warum wieso - das habe ich noch nicht gelernt.
Aber gut, versuche ich damit den Satz
> Wechsel von neg. nach pos. (Min.) heißt, daß f '(x) dort auch
> immer größer wird.
zu verstehen.
Es bleibt die Frage größer als was? Größer als Null? Das soll für Min. gelten. Im mittleren Bildchen wäre es dann aber grad nur knapp über Null.
(Oder sprichst du von der Steig.?)
Ich sehe, dass der Satz nur gilt für rechts von dem Max.(bei Ausgangs-Fkt.), also, dass die Fkt.werte Richtung x=0 größer werden (bin beim mittleren Bildchen, der ersten Ableitg.).
Gleiches (wieder nur in Richtg. rechts werden sie größer) von x=3 Richtg. x=4, aber dort steigt auch die Steig. an.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Bis hier her erstmal.
> Denk dran, es gibt noch Wendestellen, bzw Sattelpunkte,
> da wirds ncoh was komplizierter.
Das darfst du doch nicht sagen! Willst du mir Angst machen? Du musst sagen u. das mit dem WP u. Sattelpkt. das ist dann auch nicht mehr schwer.
Nimms mit Humor. Ich glaube dir alles. Wirklich, im ernst! Aber eines glaube ich dir nicht: dass das mit dem WP noch komplizierter sein soll, das glaube ich überhaupt nicht.
Ich freue mich wirkl. sehr, dass hier im Matheraum so eine menge Menschen unterwegs sind, die so viel helfen. DANKE
LG
Sabine
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Hallo,
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> > Denk dran, es gibt noch Wendestellen, bzw Sattelpunkte,
> > da wirds ncoh was komplizierter.
> Das darfst du doch nicht sagen! Willst du mir Angst
> machen? Du musst sagen u. das mit dem WP u. Sattelpkt. das
> ist dann auch nicht mehr schwer.
> Nimms mit Humor. Ich glaube dir alles. Wirklich, im ernst!
> Aber eines glaube ich dir nicht: dass das mit dem WP noch
> komplizierter sein soll, das glaube ich überhaupt nicht.
Ich glaube was Event_Horizon damit meint sind die Ableitungen ;)
Oft kann sich die 3. Ableitung als sehr "aufwändig" bzw. "kompliziert" erweisen. (Rechenfehler passieren sehr leicht, etc...)
Selbst wenn du dann die Ableitungen richtig berechnet hast kanns immer noch mühsam werden. Denke zB daran:
wenn du 4 Wendestellen hast (zb: [mm] \pm\frac{\sqrt{2\pm\sqrt{13}}}{4}) [/mm] kann das schon recht verwirrend werden ;)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 08.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (nur so nebenbei: Was hat man denn für eine Fkt., wenn
> man eine konstante Fkt. ableiten wollte? Einen Punkt?)
ne, sondern eine sehr spezielle einfache Funktion - nämlich eine gewisse konstante Funktion: Die Nullfunktion.
Kurz:
Ist etwa $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein nichteinpunktiges und nichtleeres Intervall und ist $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] gegeben durch $f(x):=c$ (für alle $x [mm] \in [/mm] I$) mit einer Zahl $c [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so folgt, dass die Ableitungsfunktion von [mm] $f\,$ [/mm] - im Zeichen [mm] $f'\,$ [/mm] - gegeben ist durch $f': I [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f'(x)=0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in I\,.$
[/mm]
Beweis ist trivial:
Ist [mm] $x_0 \in [/mm] I$ und $h [mm] \not=0$ [/mm] so, dass [mm] $x_0+h \in [/mm] I$ gilt, so haben wir
[mm] $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{c-c}{h}=\frac{0}{h}=0\,,$$
[/mm]
also auch
[mm] $$f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\lim_{h \to 0}0=0\,.$$
[/mm]
(Wieder zur Erinnerung: In [mm] $\lim_{h \to 0}$ [/mm] steckt insbesondere die Bedingung $h [mm] \not=0$ [/mm] mit drin, also [mm] $\lim_{h \to 0}=\lim_{0 \not=h \to 0}\,.$)
[/mm]
Da dies für beliebiges [mm] $x_0 \in [/mm] I$ gilt, folgt [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] für alle [mm] $x_0 \in I\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 09.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sbleitungsfunktion und funktion.
wir gehen immer von links nach rechts. Wenn wie auf ein Min zugehen ist die Steigung negativ und wir je näher wir dem min kommen immer kleiner, beim Min ist sie dann 0, danach steigt die fkt d.h f' ist positiv. wenn wir uns jetzt die fkt f'(x) ansehen dann ist sie links vom Min negativ, beim min o und danach positiv, d,h, sie geht steigend durch 0, deshalb muss die ableitung von f'(x) also f''(x) beim Min positiv sein, wie in deiner zeichnung.
Überleg jetzt genauso wenn du auf ein max zugehst.
(auch ich finde Wendeppunkte nihts kompliziertes, ,es sind einfach nur die maxima und Minima von f'(x) und wenn man erst mal kapiert hatm dass f'(x) eine funktion istm dann ist das so leicht oder schwer wie eben max und min sind.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
vielen DANK für die vielen Eier!
Ich hoffe du hast auch welche bekommen!
> Ableitungsfunktion und Funktion.
> Wir gehen immer von links nach rechts. Wenn wir auf ein
> Min. zugehen, dann ist die Steigung negativ und wird, je
> näher wir dem Min kommen, immer kleiner, beim Min ist
> sie dann Null, danach steigt die Fkt. d.h. f ' ist positiv.
> Wenn wir uns jetzt die Fkt. f '(x) ansehen, dann
> ist sie links vom Min negativ,
Ich dachte du sprichst von Steig., meinst aber die Fkt.werte.
Weil ich´s echt nicht kapiert habe, habe ich mir ein Min. u. seine Ableitg. ausgedruckt. Ich wählte [mm] x^2 [/mm] und 2x.
> d.h. sie geht steigend durch Null,
Ja, der Graph der Ableitg. geht steigend durch 0/0, das ist mit dem Ausdruck eindeutig u. sofort zu erkennen.
> deshalb muss die ableitung von f '(x) also f ''(x)
f ''(x)=2 (in meinem Beispiel)
> beim Min. positiv sein
und wieder meinst du den Fkt.wert 2, nä? Ja, der ist pos.
> wie in deiner zeichnung.
MUSS auch mit dieser anderen Zeichng. gehen; Min. ist Min.
> Überleg jetzt genauso, wenn du auf ein Max zugehst.
Okey
Ich nehme einen weiteren Ausdruck [mm] -x^2 [/mm] u. -2x zur Hilfe.
- Wir latschen direkt auf der Fkt. [mm] -x^2 [/mm] bergauf (Steig. pos.),
- erklimmen den Gipfel (Max.=HP), wo Steig. gleich null ist,
- um dann wieder runterzugehen (Gefälle=Steig. neg.)
Jetzt schaut man sich diese 3 Etappen auf dem Graph der Ableitg. an
-Die Fkt.werte von f ´(x) bis zum dem Gipfel sind pos. (ja)
-auf HP = Steig. gleich Null, Ableitg. muss null sein, ja Ableitgs.-Graph geht durch 0/0
-Die Fkt.werte von f ´(x) nach dem Gipfel sind neg.
So u. jetzt?
Das wars oder?
(bin n büschen raus, Faden verloren)
Das kann ich mir jederzeit selbstverständlich auch ohne Ausdruck eigenständig in Erinnerung rufen. D.h. ich brauche diesbzgl. nix mehr zu lernen, weil es z.B. auch bei ner kubischen mit HP u. TP genau das gleiche Prinzip sein muss!
Nee, das wars net. Denn du hast irgendwo auch noch von der zweiten Ableitg. gesprochen.
Erste Ableitg. geht fallend durch 0/0, deswegen muss die zweite Ableitg.
keine Ahnung
Ich kann oben bei dir gucken u. es hier bei mir umgekehrt machen: demnach muss f ´´(x) beim HP neg. sein
Aber mit selber überlegen? Nee. Also muss ich das auswendig lernen?
Nehme ich mein Bsp (f(x)= - [mm] x^2), [/mm] dann ist der Fkt.wert von f ´´(0)= tatsächl. neg.
Aber das muss auch ohne konkretes Bsp. gehen (Bsp. sind doch nur Krücken).
Also doch auswendig lernen?
Oder gibs da was zu kapieren, was nur noch nicht in meinen Schädel will?
Ich danke euch für eure Geduld.
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 10.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest eingesehen, dass beim Min die Ableitung von negativ über 0 nach positiv geht. eine funktion die so läuft steigt. also steigt die Funktion f'(x) wenn die jetzt nicht f'(x) hieße sondern g(x) und ich dich frage, wann steigt eine funktion, würdest du hoffentlich antworten: wenn die ableitung positiv ist. unsere funktion g(x) hat jetzt aber nicht den namen g sondern f'wenn ich f'g nenne muss ich also g' bilden
g(x)=f'(x) dann ist g'(x)=(f'(x))' dafür schreibt man aber die abkürzung f''(x) gibt f''(x) die Steigung der Funktion an einer Stelle an. die war aber beim min positiv, also muss bei nem min f''(x) positiv sein.
Max hast du richtig beschrieben, f'(x) ist fallend beim max, die ableitung von f'(x) namens f''(x) muss also negativ sein.
Was du noch nicht so richtig verinnerlicht hast ist dass f'(x) eine ganz normale funktion ist, derren eigenschaften (Nullstellen, Steigung, Maxima, Minima man untersuchen kann (und öfter muss) wie bei einer ganz normalen fkt g(x)
sobald du eigenschaften von f' untersuchen willst lass beiseite, dass es eine ableitungsfkt ist und behandle sie wie g(x)
Klarer?
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Guten Abend,
> ich möchte den Unterschied zwischen globales u. lokales
> Maximum wissen.
> Bei wiki mal geschaut u. folgendes notiert:
nur mal ganz kurz, ich will hier gar nicht so weit ausschweifen:
Wenn Du etwa $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] mit einem nichtleeren und nichteinpunktigen Intervall [mm] $I\,$ [/mm] hast, und wenn [mm] $x_M^{g}$ [/mm] globale Maximalstelle ist, so bedeutet dass, dass [mm] $f(x_M^g) \ge [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$ gilt (also für alle [mm] $x\,$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] $f\,$).
[/mm]
Wenn [mm] $x_M^\ell$ [/mm] lokale Maximalstelle ist, so heißt dass, dass es eine (kleine) Umgebung (etwa ein (kleines) um [mm] $x_M^\ell$ [/mm] symmetrisches offenes Intervall) $U [mm] \subseteq I\,$ [/mm] von [mm] $x_M^\ell$ [/mm] gibt, so dass [mm] $f(x_M^\ell) \ge [/mm] f(u)$ für alle $u [mm] \in [/mm] U$ gilt.
Nimm' mal (mehr oder weniger) einfache Beispiele:
1.) Betrachte $f: [mm] [0,2\pi] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x*\cos(x)\,.$ [/mm] Was sind lokale, und was globale Maximalstellen (nebenbei: globale sind immer auch lokale)?
(Die lokal-und-nicht-globale Maximalstelle kannst Du mithilfe der Ableitung auch genau berechnen - mir reicht's, wenn Du Dir den Graphen mal plotten läßt und sagst, wo diese Stelle ungefähr liegt. Und mir reicht auch eine Begründung anhand des Graphen, warum die globale Maximalstelle, welche Du vielleicht nur nennst, wohl auch die globale ist.)
2.) Betrachte $g: [mm] [0,3\pi] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x*\cos(x)\,.$ [/mm] Was sind lokale, und was globale Maximalstellen? (Hier kann man auch wirklich alleine mit den Nullstellen der ersten Ableitung argumentieren. Bei 1.) kann man auch irgendwie mit der Ableitung argumentieren, aber dann etwa mit Monotonieargumenten!)
Auch hier gilt: Man kann das ganze ein wenig allgemeiner fassen. Etwa so:
Globale Maximalstelle bedeutet, dass der Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] an dieser Stelle niemals [mm] $<\,$ [/mm] sein wird als der Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] einer jeden anderen Stelle DES GANZEN DEFINTIONSBEREICHS.
Lokale Maximalstelle bedeutet:
Es gibt eine (hinreichend kleine) Umgebung von der lokalen Maximalstelle, so dass, wenn man [mm] $f\,$ [/mm] auf diese Umgebung einschränkt, die lokale Maximalstelle dann bzgl. der eingeschränkten Funktion eine globale Maximalstelle ist. (Da sollte vielleicht noch mehr dabei stehen, sowas wie, dass [mm] $x_M^\ell$ [/mm] auch Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist oder sowas.)
P.S.
Was vielleicht wichtig ist, und was Dir evtl. nicht so klar ist: Umgebungen sind immer offen. D.h. dass diese "(kleinen) Umgebungen" immer auch unendlich viele weitere Stellen des Definitionsbereichs enthalten sollen/werden. Denn um eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nur das Intervall [mm] $[x_0,x_0]=\{x_0\}$ [/mm] zu betrachten, macht irgendwie keinen Sinn beim Begriff lokale Maximalstelle.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 10.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
> Hallo Marcel,
> > Unterschied zwischen globales u. lokales Max.?
> > Das ist meine Ausgangsfrage.
> Nimm' mal [mm]f: [0,2\pi] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x*\cos(x)\,.[/mm]
> Was sind lokale, und was globale Maximalstellen (nebenbei:
> globale sind immer auch lokale)?
Ich habe sie geplottert:
Maxima sind bei x=-1 und x=3,5.
Beides sind lokale Maxima.
Ein globales Maximum ist nicht dabei, weil die Fkt. f(x)=x*cos(x) rechts und links neben ihren Hochpunkten noch größere Fkt.werte erreicht, als die Fklt.werte beider Maxima es sind.
Ich würde mich nicht wundern, wenn das falsch ist.
So wie ich´s in diesem Thread jetzt verstanden habe ist ein
- lokaler HP einer, deren unmittelbar benachbarte Fkt.werte kleiner sind als die des HP´s.
- globaler HP einer, wo die Fkt. den größten Fkt.wert erreicht hat, den die Fkt. jemals haben kann.
Insofern wäre in der Tat auch ein globaler HP ein lokaler HP.
Ach, ich wäre so froh, wenn das alles mal so stimmen würde.
LG
Sabine
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> > Hallo Marcel,
> > > Unterschied zwischen globales u. lokales Max.?
> > > Das ist meine Ausgangsfrage.
>
> > Nimm' mal [mm]f: [0,2\pi] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x*\cos(x)\,.[/mm]
> > Was sind lokale, und was globale Maximalstellen (nebenbei:
> > globale sind immer auch lokale)?
Nein.
> Ich habe sie geplottert:
> Maxima sind bei x=-1 und x=3,5.
> Beides sind lokale Maxima.
> Ein globales Maximum ist nicht dabei, weil die Fkt.
> f(x)=x*cos(x) rechts und links neben ihren Hochpunkten noch
> größere Fkt.werte erreicht, als die Fklt.werte beider
> Maxima es sind.
>
> Ich würde mich nicht wundern, wenn das falsch ist.
> So wie ich´s in diesem Thread jetzt verstanden habe ist
> ein
>
> - lokaler HP einer, deren unmittelbar benachbarte Fkt.werte
> kleiner sind als die des HP´s.
>
> - globaler HP einer, wo die Fkt. den größten Fkt.wert
> erreicht hat, den die Fkt. jemals haben kann.
>
> Insofern wäre in der Tat auch ein globaler HP ein lokaler
> HP.
>
> Ach, ich wäre so froh, wenn das alles mal so stimmen
> würde.
>
> LG
> Sabine
https://matheraum.de/forum/lokale_globale_Extrempunkte/t228540
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/hochpunkt-tiefpunkt.html
mit Bild http://www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/extremwert.jpg
http://www.mathematik-wissen.de/extremwerte.htm
Was ist ein Extrempunkt ?
Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einer Umgebung (in einem Intervall), entweder der höchste Punkt (dann nennt man ihn Maximum oder Hochpunkt) oder aber der tiefste Punkt (dann nennt man ihn Minimum oder Tiefpunkt) ist.
Wenn das Maximum (oder der Hochpunkt) nur in seiner Umgebung der höchste Punkt ist, dann nennen wir diesen Punkt lokales oder relatives Maximum. Ist er der höchste Punkt der gesamten Funktion, so nennen wir ihn globales oder absolutes Maximum.
Das Gleiche gilt für Minima. Ist ein Minimum nur der tiefste Punkt in seiner Umgebung, so nennen wir es lokales oder relatives Minimum. Ist er aber auf der gesamten Funktion der tiefste Punkt, so nennen wir es globales oder absolutes Minimum.
Wie erkenne ich, ob die Extrempunkte einer Funktion lokal oder global sind?!
Zum einen musst Du die Funktionswerte der einzelnen Extremstellen vergleichen. Da wäre dann der größte Funktionswert ein Kandidat für ein globales Maximum.
Zudem musst Du aber auch die Ränder des Definitionsbereiches untersuchen; sprich: entsprechende Grenzwertbetrachtungen vornehmen.
Die üblichen Ränder sind x -> -oo (Minus-Unendlich) bzw. x -> +oo (Plus-Unendlich) sowie auch an Defintionslücken wie z.B. Polstellen.
Wenn Deine Funktion an den Rändern zum Beispiel gegen +oo (Plus-Unendlich) strebt, existiert auch kein globales Maximum, da ja jeder Wert für y=f(x) überschritten wird.
Ein vorhandenes Maximum ist dann "nur" ein lokales Maximum, weil es Werte y=f(x) -> +oo gibt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:41 Di 10.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Hallo Marcel,
> > > > Unterschied zwischen globales u. lokales Max.?
> > > > Das ist meine Ausgangsfrage.
> >
> > > Nimm' mal [mm]f: [0,2\pi] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x*\cos(x)\,.[/mm]
> > > Was sind lokale, und was globale Maximalstellen (nebenbei:
> > > globale sind immer auch lokale)?
>
> Nein.
doch: Globale Extremalstellen sind stets auch lokale Extremalstellen - UMGEKEHRTES gilt i.a. NICHT!
Denn: Wenn ein Funktionswert GRÖßERGLEICH jedem anderen Funktionswert ist, dann gilt dies auch in einer jeden Umgebung (die sollte natürlich Teilmenge des Definitionsbereichs sein) der Stelle, wo dieser Funktionswert angenommen wird.
Was Du mir mit Deinen Links sagen willst, weiß ich nicht, ich halte mich strikt an die Definition, und dass das daraus folgt, ist eine Banalität.
Zudem:
![[]](/images/popup.gif) siehe etwa hier!!
oder
hier!!
Was Du vielleicht meinst, ist, dass man bei differenzierbaren Funktionen nicht globale Extremstellenauf dem gleichen Weg wie die evtl. vorhandenen inneren lokalen mit der Ableitung berechnen kann.
Gruß,
Marcel
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Für den Einstieg hast du dir auch eine der schlechtesten Funktionen rausgesucht die es so gibt, da diese osziliert.
Ich versuche es dennoch einmal Grafisch zu veranschaulichen;)
Im Folgenden siehst du dieselbe Funktion, einmal in klein und einmal vergrößert...
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Intervall von x = -4 bis x = 1 sind die globalen maxima: E1 und E2.
Im zweiten Bild siehst du wie die Funktion "schwingt", dass nennt man oszilieren, daher gibt es hier auch keine weiteren globalen Extrema, da man sie, soweit ich weiß, nicht bestimmen kann. Für gewöhnlich laufen Funktionen ab einem bestimmten Punkt nur noch nach oben oder nähern sich der X-Achse an.
Strebt eine Funktion nur noch nach oben, so sagt man, x strebt gegen unendlich. Trifft dieser nach oben strebende Teil eine Intervallgrenze und liegt hier der y-Wert höher als bei deinem höchsten Hochpunkt, so ist dies ein globales maximum.
Folgendes Bild kennst du ja schon, du siehst das die Funktion im positiven x-Bereich nur noch nach oben geht. Wenn die rechte Intervallgrenze bei 0.93 liegen würde, so hätte die Funktion an der Stelle mit x = Intervallgrenze einen höheren Funktionswert als in ihrem höchsten Hochpunkt, daher wäre x = 0.93 ein globales Maximum.
Ein Irrglaube der kursiert ist, dass Extrema immer durch "höcker" definiert sind, wie bei einem Kamel, dabei ist der Kopf des Kamels der höchste Punkt auch wenn dahinter nicht wieder runter geht. (Was für ein genialer Vergleich :D)
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 23:46 Di 10.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für den Einstieg hast du dir auch eine der schlechtesten
> Funktionen rausgesucht die es so gibt, da diese osziliert.
>
> Ich versuche es dennoch einmal Grafisch zu
> veranschaulichen;)
nein, hast Du nicht - jedenfalls nicht, wenn Du Deine Funktion nicht einschränkst!
Denn so schlimm oszilliert die auch gar nicht:
Leute, ich gebe NICHT UMSONST den DEFINTIONSBEREICH DER FUNKTION mit an. Meine Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] waren beide nur auf jeweils einem zur Funktion zugehörigem kompakten Intervall definiert. Das ist zu beachten!!
(Strenggenommen besteht eine Funktion immer aus [mm] $3\,$ [/mm] Angaben: Definitionsbereich, Zielbereich (der das Bild der Funktion umfassen muss!) und einer Funktionsvorschrift!)
Zudem:
Wenn man die Funktion auf [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet (also [mm] $h(x)=x*\cos(x)$ [/mm] auf [mm] $\IR$), [/mm] so gibt es weder globale Maxima noch globale Minima. Es gibt dann nur lokale Extremalstellen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> > Hallo Marcel,
> > > Unterschied zwischen globales u. lokales Max.?
> > > Das ist meine Ausgangsfrage.
>
> > Nimm' mal [mm]f: [0,2\pi] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=x*\cos(x)\,.[/mm]
> > Was sind lokale, und was globale Maximalstellen (nebenbei:
> > globale sind immer auch lokale)?
>
> Ich habe sie geplottert:
> Maxima sind bei x=-1 und x=3,5.
> Beides sind lokale Maxima.
was hast Du da geplottet? Den Graphen der Funktion [mm] $f(x)=x*\cos(x)$ [/mm] ($x [mm] \in [0,2\pi]$) [/mm] siehst Du hier:
Es ist nur der Bereich zwischen [mm] $x=0\,$ [/mm] und [mm] $x=2\pi\,,$ [/mm] also zwischen der grünen vertikalen Linie und der blauen vertikalen Linie:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Alles links der grünen und alles rechts der blauen Linie hat nichts (direkt) mehr mit [mm] $f\,$ [/mm] zu tun!)
Und an der Stelle [mm] $x=-1\,$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] doch gar nicht definiert!!
> Ein globales Maximum ist nicht dabei, weil die Fkt.
> f(x)=x*cos(x) rechts und links neben ihren Hochpunkten noch
> größere Fkt.werte erreicht, als die Fklt.werte beider
> Maxima es sind.
Jetzt denke nochmal drüber nach: Ich sehe am rechten Rand [mm] ($x=2\pi$) [/mm] eine globale (und auch lokale) Maximalstelle! Lokal ist sie, weil sogar eine jede Umgebung geschnitten mit dem Definitionsbereich nur kleinere Funktionswerte enthält als [mm] $f(2\pi)$ [/mm] ("wie man sieht") - insbesondere gibt es natürlich eine Umgebung von [mm] $x=2\pi\,,$ [/mm] wo diese Aussage zutrifft!
> Ich würde mich nicht wundern, wenn das falsch ist.
Leider!
> So wie ich´s in diesem Thread jetzt verstanden habe ist
> ein
>
> - lokaler HP einer, deren unmittelbar benachbarte Fkt.werte
> kleiner sind als die des HP´s.
Ja! (Machen wir vielleicht lieber ein [mm] $\le$ [/mm] draus: Die Funktion kann ja auch "über einen längeren Bereich hinweg" auf dem "lokal höchsten Wert" bleiben)!
> - globaler HP einer, wo die Fkt. den größten Fkt.wert
> erreicht hat, den die Fkt. jemals haben kann.
Ja!
> Insofern wäre in der Tat auch ein globaler HP ein lokaler
> HP.
So ist das auch!
> Ach, ich wäre so froh, wenn das alles mal so stimmen
> würde.
Naja, vielleicht hast Du einfach eine falsche Funktion geplottet? Leider habe ich kein Gnuplot hier, sonst würde ich Dir schönere Bilder liefern. Ich weiß nicht, wie man bei Funkyplot "den Definitionsbereich einer Funktion einschränkt".
Aber:
Die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] sieht ja fast genauso aus wie die Funktion, mit der ich [mm] $f\,$ [/mm] geplottet habe: sie hat nur einen etwas größeren Definitionsbereich: D.h. dort ist dann die blaue vertikale Linie auf [mm] $x=3\pi$ [/mm] zu verschieben!
Also genaugenommen:
Ist [mm] $h(x):=x*\cos(x)$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert, so ist [mm] $f=h_{|[0,2\pi]}$ [/mm] und [mm] $g=h_{|[0,3\pi]}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 12.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marcel u.v.a.,
ich habe aus den vielen Texten (auch z.T. aus den Links) jetzt mal folgendes zus.geschrieben u. bitte um Durchsicht u. ggf. Korrektur, aber ich hoffe sehr, dass es nichts zu korrigieren gibt, sonst dreh ich durch. Da ich keine lokalen u. globalen Extrema exakt best. muss, reicht es nur zu wissen, was ist was. (Niveau 10.Kl. Gym)
allg Extrema
Sind Punkte, die ihr Steigungsverhalten wechseln:
HP: von steigend über null zu fallen
TP: von fallend über null zu steigend
(u. so nebenbei; genau das tut auch ein globales)
lokales Maximum
Ein Max. liegt vor, wenn die unmittelbar benachbarten Fkt.werte kleiner sind als die y-Koordinate des Max.
Genauer: Ein Max. liegt vor, wenn die direkten benachbarten Fkt.werte kleiner oder gleich null sind, verglichen mit dem y-Wert des Max.
globales Max.
Ein globales Max. ist auch ein lokales Max. Allerdings wird aus einem lokalem erst ein globales, wenn der Fkt.wert des Max. der größte der gesamten Fkt. ist. Ein globales Max. od. Min. ist einfach der höchste/tiefste y-Wert, die die Ausgangs-Fkt. überhaupt haben kann.
Nähme man z.B. die Alpen, dann ist jede Bergspitze ein lokales Max.
Aber nur der allerhöchste Berg wird globales Max. genannt.
Jeder globale HP ist dann natürlich auch ein lokales.
Beispiele
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich jetzt noch Zeit hätte, dann würde ich mich darin versuchen, diese beiden Sachverhalte (lokal u. global) in die formalistische Mathesprache auszudrücken, mit Beispielen, die auch noch den Def.- u. Wertebereich berücksichtigen, aber das muss fürs erste reichen.
Mit dem folgenden Satz allerdings komme ich noch nicht zurecht:
"Ein lokales Extremum ist ein Pkt., der der höchste/tiefste in der direkten Umgebung (damit ist das Intervall gemeint) ist."
mfg
Sabine
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Hallo Sabine,
> Hallo Marcel u.v.a.,
>
> ich habe aus den vielen Texten (auch z.T. aus den Links)
> jetzt mal folgendes zus.geschrieben u. bitte um Durchsicht
> u. ggf. Korrektur, aber ich hoffe sehr, dass es nichts zu
> korrigieren gibt, sonst dreh ich durch. Da ich keine
> lokalen u. globalen Extrema exakt best. muss, reicht es nur
> zu wissen, was ist was. (Niveau 10.Kl. Gym)
>
> allg Extrema
> Sind Punkte, die ihr Steigungsverhalten wechseln:
> HP: von steigend über null zu fallen
> TP: von fallend über null zu steigend
> (u. so nebenbei; genau das tut auch ein globales)
10. Klasse hin oder her: das gilt nur für innere Extrema, nicht für Randextrema, die in der Schule durchaus auch vorkommen werden. Das können entweder Punkte am Rand eines Schaubilds sein, wenn die Definitionsmenge dort abgeschlossen ist, oder aber Knickstellen im Verlauf der Funktion. So besitzt bspw. die Betragsfunktion f(x)=|x| ein absolutes Minimum in (0|0), welches du aber niemals über die 1. Ableitung bekommst, da diese Funktion an der Stelle x=0 überhaupt nicht differenzierbar ist. Tu dir also den Gefallen: mache es dir jetzt nicht zu einfach, du wirst diese Dinge bald benötigen!
> lokales Maximum
> Ein Max. liegt vor, wenn die unmittelbar benachbarten
> Fkt.werte kleiner sind als die y-Koordinate des Max.
> Genauer: Ein Max. liegt vor, wenn die direkten
> benachbarten Fkt.werte kleiner oder gleich null sind,
> verglichen mit dem y-Wert des Max.
Das ist jetzt richtig für alle Arten von lokalen Maxima, also auch für Randmaxima.
> globales Max.
> Ein globales Max. ist auch ein lokales Max. Allerdings
> wird aus einem lokalem erst ein globales, wenn der Fkt.wert
> des Max. der größte der gesamten Fkt. ist. Ein globales
> Max. od. Min. ist einfach der höchste/tiefste y-Wert, die
> die Ausgangs-Fkt. überhaupt haben kann.
Genau so ist es.
> Nähme man z.B. die Alpen, dann ist jede Bergspitze ein
> lokales Max.
> Aber nur der allerhöchste Berg wird globales Max.
> genannt.
> Jeder globale HP ist dann natürlich auch ein lokales.
Genau, wie bei der Tour de France. 
.
.
.
> Mit dem folgenden Satz allerdings komme ich noch nicht
> zurecht:
> "Ein lokales Extremum ist ein Pkt., der der
> höchste/tiefste in der direkten Umgebung (damit ist das
> Intervall gemeint) ist."
Das ist genau das gleiche, was du oben beschrieben hast, nur eben schon ein Stück weit mathematischer formuliert. Noch genauer:
Unter einem lokalen Maximum einer Funktion f versteht man einen Wert [mm] f(x_0), [/mm] so dass für ein [mm] \delta>0 [/mm] gilt, dass [mm] f(x_0)\ge{f(u)} [/mm] für jedes u mit [mm]x_0-\delta.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
beim schnellen durchlesen habe ich mich nur an einer Stelle gestört:
> > lokales Maximum
> > Ein Max. liegt vor, wenn die unmittelbar benachbarten
> > Fkt.werte kleiner sind als die y-Koordinate des Max.
> > Genauer: Ein Max. liegt vor, wenn die direkten
> > benachbarten Fkt.werte kleiner oder gleich null sind,
> > verglichen mit dem y-Wert des Max.
>
> Das ist jetzt richtig für alle Arten von lokalen Maxima,
> also auch für Randmaxima.
die direkt benachbarten Funktionswerte müssen nur kleiner oder gleich dem Funktionswert der "Maximalstelle" sein. Was die Null da zu suchen hat, weiß ich nicht (und vermutlich war es auch eher ein Vertipper von Sabine, denn sie redet danach ja auch vom [mm] "$y\,$-Wert" [/mm] (=Funktionswert) des Max. (das sollte man aber besser MaximalSTELLE nennen)).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Do 12.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marcel,
>Vertipper von Sabine
ja, die null hat da nix zu suchen!!!
Maximalstelle
soviele Wörter
Aber gemeint ist damit doch nur die x-Koordinate des Maximums oder?
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> >Vertipper von Sabine
> ja, die null hat da nix zu suchen!!!
>
> Maximalstelle
> soviele Wörter
> Aber gemeint ist damit doch nur die x-Koordinate des
> Maximums oder?
die Wörter werden meist oft durcheinandergeworfen. Ein Maximum ist ein Funktionswert, der an einer Maximalstelle angenommen wird.
Der Hochpunkt besteht dann aus zwei Informationen: Seiner "Ortsangabe" (ich meine, wir betrachten jetzt nur Funktionen, die auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert sind, aber Du kannst auch Funktionen etwa $A [mm] \to \IR$ [/mm] mit $A [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] betrachten - generell geht das alles auch noch komplizierter auf anderen Strukturen... aber egal), das nenne ich immer Maximalstelle, und dem Funktionswert, der an dieser Stelle angenommen wird: Das ist das Maximum (jeweils lokal oder global, je nachdem, wovon man redet).
Also: Ein Hochpunkt ist eigentlich ein Element des Graphen einer Funktion $f: A [mm] \to \IR\,.$ [/mm] Du betrachtest nur $A [mm] \subseteq \IR\,.$
[/mm]
D.h.:
Plottest Du eine Funktion $f: A [mm] \to \IR$ [/mm] mit $A [mm] \subseteq \IR\,,$ [/mm] dann ist das, was Du siehst, eigentlich der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] (oder ein Ausschnitt davon).
An dem Graphen siehst Du etwa einen lokalen Hochpunkt. Schaust Du an diesem den [mm] $x\,$-Wert [/mm] an (senkrechte Projektion auf [mm] $x\,$-Achse [/mm] - also Projektion parallel zur [mm] $y\,$-Achse), [/mm] so ist das die (lokale) Maximalstelle des lokalen Hochpunkts. Analog kannst Du Dir an diesem die [mm] $y\,$-Koordinate [/mm] anschauen, und siehst den Wert, das lokale Maximum, dieser (lokalen) Maximalstelle.
Aber ich weiß: Da werden oft Bezeichnungen durcheinandergworfen, und auch ich muss oft nochmal nachgucken. Manchmal reden Leute vom Maximum und meinen in Wirklichkeit einen Hochpunkt. Oder sie reden vom Hochpunkt und meinen eigentlich eine Maximalstelle (das kann auch schnell passieren, wenn man auf mehrdimensionalen Definitionsbereichen arbeitet - da reicht auch schon 2D).
Andere reden vom Maximum und meinen die Stelle, wo das angenommen wird (sofern diese eindeutig ist) etc. pp..
Und auch ich mache manchmal etwas unschönes: Ich sage etwa: Betrachte [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] am Punkt [mm] $x=2\,.$ [/mm] Besser wäre es, von der Stelle [mm] $x=2\,$ [/mm] zu sprechen - manche gehen im Kopf beim Begriff Punkt automatisch von [mm] $f\,$ [/mm] über in den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] und sagen dann: Was ist denn im [mm] $\IR^2$ [/mm] der Punkt [mm] $2\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 So 15.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Marcel, wunderbar, wie du das alles beschrieben hast.
Du gestattest, dass ich ein Konzentrat draus mache?
Maximum = nur der Fkt.-wert (v. der Maximalstelle)
HP = die Koordinate (a/f(a)) oder [mm] (x_0/f(x_0)), [/mm] wobei a oder [mm] x_0 [/mm] Maximalstelle des HP ist
Das war gut u. ich hoffe, dass wird zukünftig sprachliche Missverständnis vermeiden.
D-A-N-K-E !!!!!
Äh, aber eigentl. könnte man doch gleich weiter machen!?
Extremwert
ich glaubte bislang, er ist ein HP oder TP, also ganze Ortsangabe (x/y)
Aber wieso nennt man ihn denn -wert ?
Ist damit etwa auch wieder NUR der Fkt.wert gemeint?
LG
Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:10 So 15.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Marcel, wunderbar, wie du das alles beschrieben hast.
> Du gestattest, dass ich ein Konzentrat draus mache?
>
> Maximum = nur der Fkt.-wert (v. der Maximalstelle)
> HP = die Koordinate (a/f(a)) oder [mm](x_0/f(x_0)),[/mm] wobei a
> oder [mm]x_0[/mm] Maximalstelle des HP ist
>
> Das war gut u. ich hoffe, dass wird zukünftig sprachliche
> Missverständnis vermeiden.
>
> D-A-N-K-E !!!!!
>
> Äh, aber eigentl. könnte man doch gleich weiter machen!?
> Extremwert
> ich glaubte bislang, er ist ein HP oder TP, also ganze
> Ortsangabe (x/y)
nein!
> Aber wieso nennt man ihn denn -wert ?
> Ist damit etwa auch wieder NUR der Fkt.wert gemeint?
Letzteres - Du kannst auch gerne mal bei Wikipedia: Extremwert nachlesen. Das, was für Dich interessant ist, ist da gut beschrieben.
Ich würde es so machen:
Ein Extrempunkt [mm] $P_{E}$ [/mm] (also ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt - sowas sieht man ja visualisiert, wenn man den Graphen einer Funktion (oder "Teile" davon) zeichnet) einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] besteht aus zwei Komponenten
[mm] $$P_E=(x_E,\;f(x_E))\,.$$
[/mm]
Insbesondere sollte dabei natürlich [mm] $x_E$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] sein. (Dann ist natürlich auch [mm] $P_E \in \text{graph}(f)\,.$)
[/mm]
Also:
Bei einem Extrempunkt [mm] $P_E=(x_E,\;f(x_E))$ [/mm] sieht man, dass dieser an der Extremstelle [mm] $x_E$ [/mm] angenommen wird, und an der Stelle [mm] $x_E$ [/mm] liegt der Extremwert mit Wert [mm] $f(x_E)$ [/mm] vor.
Also:
- Extrempunkt (das ist ein Element des Graphen von [mm] $f\,$): $P_E=(x_E,\;f(x_E))$
[/mm]
- Extremstelle: [mm] $x_E$
[/mm]
- Extremwert an der Extremstelle [mm] $x_E:$ $f(x_E)$
[/mm]
Oder anders:
Extrempunkt [mm] $P_E=(\text{Extremstelle},\;\blue{\text{'Funktionswert, der an der Stelle }x_E\text{ bzgl. der betrachteten Funktion angenommen wird'}})\,.$
[/mm]
Aber wie gesagt: Manchmal ist sogar in manch' einem Lehrbuch da jemand durcheinandergekommen!
Und damit ich da auch nichts falsch mache bzw. damit Du mich ggf. drauf hinweisen kannst:
Wie gesagt, Du kannst auch so manches bei Wikipedia nochmal nachlesen (natürlich kann auch da mal was falsches stehen).
P.S.
Aber bitte aufpassen, es gibt auch Begriffe, die sehr ähnlich klingen, etwa Extremalpunkt...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Nabend,
den Unterschied zwischen lokales/rel. und globales(absolutes Extremum habe ich begriffen, allerdings nur als Basiswissen.
Ich möchte die Vorstellungen über rel. u. globales Extremum jedoch erweitern, im Hinblick auf zweierlei:
a) Randextrema (innere u. äußere Extrema) und
b) Intervall u. Umgebung
Mit welchem fange ich am besten an? a) oder b)?
Leider weiß ich nur, dass innere Extrema z.B. nicht die sind, die man normalerweise denken würde, wenn man es nicht mathematisch betrachtet.
Und was ist der Unterschied zwischen einem Intervall u. einer Umgebung?
zu Intervall ist mir bekannt:
offenes u. geschlossenes Intervall
offenes = ohne die Randpunkte (ja, richtig?)
Ist eine Umgebung auch so klar begrenzt?
Am liebsten wäre mir, wenn Intervall dasselbe ist wie Umgebung.
Für Antw. u. Hilfe vielen DANK
mfg
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 So 01.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Giraffe,
> Nabend,
>
> den Unterschied zwischen lokales/rel. und
> globales(absolutes Extremum habe ich begriffen, allerdings
> nur als Basiswissen.
> Ich möchte die Vorstellungen über rel. u. globales
> Extremum jedoch erweitern, im Hinblick auf zweierlei:
> a) Randextrema (innere u. äußere Extrema) und
> b) Intervall u. Umgebung
> Mit welchem fange ich am besten an? a) oder b)?
>
> Leider weiß ich nur, dass innere Extrema z.B. nicht die
> sind, die man normalerweise denken würde, wenn man es
> nicht mathematisch betrachtet.
das verstehe ich nicht, was Du da meinst. Aber ich werde diese Frage sowieso erstmal für mich zurückstellen, ich beantworte lieber auf die Schnelle einen anderen Teil.
> Und was ist der Unterschied zwischen einem Intervall u.
> einer Umgebung?
> zu Intervall ist mir bekannt:
> offenes u. geschlossenes Intervall
> offenes = ohne die Randpunkte (ja, richtig?)
> Ist eine Umgebung auch so klar begrenzt?
> Am liebsten wäre mir, wenn Intervall dasselbe ist wie
> Umgebung.
Sagen wir es mal so: Solange Du in [mm] $\IR$ [/mm] bist, ist jedenfalls eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] das gleiche wie ein offenes Intervall, und auch umgekehrt.
Warnung: Ich rede hier erstmal nur von [mm] $\mathbf{\varepsilon}$[b]-Umgebungen[/b] [/mm] (das ist nicht das gleiche wie "Umgebung"), wie man sie in metrischen Räumen verwendet. Es gibt einen allgemeineren Begriff (in topologischen Räumen etwa), der wiederum ein wenig anders definiert ist. Darauf gehe ich später ein!
Jedenfalls, wenn man sagt, dass eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] eine Punktmenge um einen Punkt ist, deren Elemente zu einem vorgegebenem festen Punkt einen Abstand haben sollen, der echt kleiner als eine vorgegebene Zahl [mm] $\varepsilon> 0\,$ [/mm] ist. Damit ist klar, dass jede offene [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um einen festen Punkt gerade ein offenes Intervall ist, dessen "Mittelpunkt" der vorgegebene feste Punkt ist - und umgekehrt kannst Du Dir überlegen, wie man dann ein offenes Intervall als [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] schreiben kann... sofern das Intervall nichtleer ist, wohlgemerkt!
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] ist das Analogon dann eine offene Kreisscheibe.
Allgemein kann man, wenn man eine Menge $M [mm] \not=\emptyset$ [/mm] hat, auf der man "Abstände messen kann" (d.h. es gibt so eine komische Funktion [mm] $d\,$ [/mm] mit Definitionsbereich $M [mm] \times [/mm] M$ und Zielbereich [mm] $\IR\,$ [/mm] (oder [mm] $[0,\infty)$), [/mm] die man dann "eine Metrik auf [mm] $M\,$ [/mm] nennt", die auch die Eigenschaften einer Metrik erfüllt), sagen, dass die Menge der [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] sich so schreiben läßt:
[mm] $$\{U_\varepsilon(x): x \in M \text{ und }\varepsilon > 0\}\,,$$
[/mm]
wobei
[mm] $$U_\varepsilon(x):=\{y \in M: \;\;d(x,y) < \varepsilon\}$$
[/mm]
ist.
Soviel erstmal zu [mm] $\varepsilon$-Umgebungen, [/mm] und normalerweise ist es jedenfalls schonmal nicht schlecht, wenn man mit dem Begriff der [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] etwas anfangen kann.
Nun war Deine Frage ja ein wenig allgemeiner. Aber das ist auch ein wenig das Problem, wenn ich diese allgemeine Frage beantworten will:
Was weißt Du denn bisher überhaupt über offene Mengen? Denn allgemein ist in einem topologischen Raum [mm] $(T,\theta)$ [/mm] eine Menge $U [mm] \subseteq [/mm] T$ genau dann eine Umgebung von $t [mm] \in T\,,$ [/mm] wenn es eine offene Menge [mm] $O\,$ [/mm] (also $O [mm] \in \theta$) [/mm] mit $t [mm] \in [/mm] O$ und $O [mm] \subseteq [/mm] U$ gibt.
Kurzgesagt: Man sagt, dass eine Teilmenge des betrachteten Grundraumes eine Umgebung des Elements [mm] $t\,$ [/mm] der betrachteten Grundmenge ist, wenn man eine offene Menge so finden kann, dass diese [mm] $t\,$ [/mm] enthält und zudem soll die offene Menge in der Menge, die man "Umgebung" nennen will, liegen.
Und wortwörtlich kannst Du das auf jeden metrischen Raum übertragen, wenn Du weißt, dass eine Metrik eine Topologie induziert - dann ist obige Aussage bzgl. der durch die Metrik induzierten Topologie zu verstehen.
Aber ich mach's Dir mal für den Fall [mm] $\IR$ [/mm] ein wenig klarer:
Im Prinzip kannst Du nämlich in [mm] $\IR$ [/mm] sagen, dass dort gilt:
Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] fest und ist $U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] mit $x [mm] \in U\,,$ [/mm] dann sagen wir, dass genau dann [mm] $U\,$ [/mm] eine Umgebung von [mm] $x\,$ [/mm] ist, wenn es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $U_\varepsilon(x) \subseteq U\,.$
[/mm]
Anders gesagt: Man kann um $x [mm] \in \IR$ [/mm] ein nichtleeres Intervall [mm] $I\,$ [/mm] legen - es kann sehr klein sein - welches [mm] $x\,$ [/mm] als Mittelpunkt hat, nichtleer ist und komplett in [mm] $U\,$ [/mm] liegt.
So ist etwa [mm] $U:=(a,b]\,$ [/mm] für jeden Punkt $x [mm] \in (a,b)\,$ [/mm] eine Umgebung von [mm] $x\,,$ [/mm] aber es ist [mm] $U\,$ [/mm] keine Umgebung von [mm] $b\,.$
[/mm]
Und jetzt kannst Du in [mm] $\IR$ [/mm] dann auch sehen, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn sie für jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
Aber ich vermute, dass ich hier eh schon ein wenig zu abstrakt werde. Wir müssen sicher erstmal noch ein paar andere Begriffe wiederholen oder Dir erklären, sowas wie: Wie definiert man, dass eine Menge in [mm] $\IR$ [/mm] offen ist etc. pp..
Danach gehen wir, wenn Deinerseits Interesse besteht, vielleicht auch noch zu [mm] $\IC$ [/mm] oder in den [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
P.S.
Es gibt übrigens da auch ein paar Diskrepanzen. In manch' einem Topologiebuch steht auch, dass, wenn [mm] $(T,\theta)$ [/mm] ein topologischer Raum ist, man dann sagt, dass $U [mm] \subseteq [/mm] T$ genau dann Umgebung für $t [mm] \in [/mm] T$ heißen soll, wenn $t [mm] \in [/mm] U$ und auch $U [mm] \in \theta\,.$ [/mm] Wenn man diese Definition zugrundelegt, hat man im Gegensatz zu obiger auch nur die Möglichkeit, dass einzig und alleine offene Mengen Umgebungen sein können.
Also: Vielleicht ist's gar nicht schlecht: Wie detailliert brauchst Du das - oder besser gefragt: Können wir ein wenig spezieller werden und das "abstrakte" irgendwie so für Dich runterbrechen, dass es für Dich anwendbar wird? Denn schwer ist das ganze nicht: Aber man muss halt schon seine Erfahrungen mit den Begriffen gemacht haben und halt auch mit diesen abstrakten Dingen hantieren können.
Also genauer: Wofür brauchst Du das ganze genau? Können wir sehr speziell werden? (Soll heißen: Vielleicht reicht's Dir, wenn Du in [mm] $\IR$ [/mm] damit hantieren kannst?) Welche Aufgaben willst Du damit bearbeiten?
P.P.S.
Man beachte auch, dass die obige Definition des Begriffes Umgebung etwas anderes besagt als die Definition der Offenheit einer Menge. So ist etwa [mm] $(a,b]\,$ [/mm] nicht offen, aber $(a,b]$ ist zum Beispiel Umgebung des Punktes [mm] $(a+b)/2\,.$ [/mm] Der Begriff "Umgebung" meint so erstmal "Umgebung bzgl. eines Punktes $t [mm] \in [/mm] T$ des topologischen Raums [mm] $(T,\theta)$". [/mm] Jetzt kann man sicher auch von Umgebungen einer Teilmenge eines topologischen Raumes reden, aber so weit will ich hier, Sabine zuliebe, gar nicht gehen!
Der Punkt ist nur, dass man etwa Fragen kann, ob eine Menge offen ist. Wenn man aber die Frage stellt, ob eine Menge eine Umgebung ist, sollte man nachfragen: "Umgebung von was/wem?"
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 01.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
Tach lieber Marcel,
ich wünschte ich wäre schon erheblich weiter oder mind. halb soviel weiter im Niveau, dann würde ich wenigstens die Hälfte von dem verstehen, was du mir mit viel Arbeit, Mühe u. Zeit geschrieben hast.
Es fängt an mit e-Umgebung, ich denke, oh je, dann die Idee: also eine ganz best. Umgebung, die einfach nur mit e bezeichnet wird, lese weiter, aber es scheint doch anders zu sein. Es kommen soviele Begriffe vor, mit denen ich gar nix anfangen kann u. ich habe Angst, jeden einzelnen mir zu erarbeiten, um dann deine Antw. nochmal zu lesen; ich wäre am Jahresende noch nicht fertig, d.h. selbst mit den erarbeiteten Begriffen beschleicht mich das ungute Gefühl, dass ich deine Antw. dennoch nicht verstehen würde.
Wofür ich es brauche, um das Niveau der Antw. einzuschätzen?
In Wahrheit für die 10.te Kl. Gym. - aber dir würde ich sagen für die 8.te Kl. Gym., wenn ich darf. Anders gesagt: Ich hatte mit all den Begriffen
(lokale u. absolute Extrema, Randextrema, Intervall, Umgebg.) noch nie zu tun.
Also, wenn du nochmal antw. magst: Bitte das geringste u. kleinste Niveau, wenn das denn geht.
D.h. z.B. ohne complexe Z. u. ohne Räume (3-dimensional), d.h. bitte bitte btte ganz ganz einfach. Für diesen Anfang gern auch oberflächlich, d.h. wenn man genau hinguckt, auch "falsch". Dann weiter u. dann kann man verfeinern, d.h. korrigieren, wenn das geht?
Mir fällt noch etwas ein: Ich glaube ich hätte das Thema lokal u. absolute Extreme schon damals (04/12) abgehakt, aber Diophant nicht gemeint hätte, dass es auch wichtig ist, diese Begriffe im Zus.hg. mit Randextrema zu verstehen (vorausgesetzt ich erinnere es noch richtig), weil es doch hin u. wieder in Schule vorkommt.
> > Leider weiß ich nur, dass innere Extrema z.B. nicht die
> > sind, die man normalerweise denken würde, wenn man es
> > nicht mathematisch betrachtet.
>
> das verstehe ich nicht, was Du da meinst.
z.B. das Bsp. von Diophant, der mir in diesem Thread als allererstes geantw. hat. Er spricht von 3 Bergkuppen u. man könnte denken, dass die Bergspitze in der mitte, ein inneres lokales Extremum ist, aber es sind die beiden kleinen Berge, links.
Lieber Marcel, bitte nicht enttäuscht sein. Und bitte auch nicht den Schluss ziehen, Anfängern nie wieder zu helfen.
LG
Sabine
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Hallo,
> ich wünschte ich wäre schon erheblich weiter oder mind.
> halb soviel weiter im Niveau, dann würde ich wenigstens
> die Hälfte von dem verstehen, was du mir mit viel Arbeit,
> Mühe u. Zeit geschrieben hast.
> Es fängt an mit e-Umgebung, ich denke, oh je, dann die
> Idee: also eine ganz best. Umgebung, die einfach nur mit e
> bezeichnet wird, lese weiter, aber es scheint doch anders
> zu sein.
Das e wird gewöhnlich mit [mm] \epsilon [/mm] bezeichnet. Dabei gilt stets [mm] \epsilon>0; [/mm] und zu einer Zahl [mm] x_0 [/mm] ist das offene Intervall
[mm] (x_0-\epsilon;x_0+\epsilon) [/mm] eine sog. Epsilon-Umgebung, ein Begriff, der auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zurückgeht. Wie ich oben schon schrieb: damit deutet man letztendlich an, wozu man diue Umgebung verwendet, nämlich für eine Grenzwertbetrachtung.
> Es kommen soviele Begriffe vor, mit denen ich gar
> nix anfangen kann u. ich habe Angst, jeden einzelnen mir zu
> erarbeiten, um dann deine Antw. nochmal zu lesen; ich wäre
> am Jahresende noch nicht fertig, d.h. selbst mit den
> erarbeiteten Begriffen beschleicht mich das ungute Gefühl,
> dass ich deine Antw. dennoch nicht verstehen würde.
Man kann überhaupt nicht immer alles auf einmal verstehen, und das sollte einem keine Angst machen. Das geht jedem so! Nimm dir die Dinge heraus, die du ansatzweise verstehst.
> z.B. das Bsp. von Diophant, der mir in diesem Thread als
> allererstes geantw. hat. Er spricht von 3 Bergkuppen u. man
> könnte denken, dass die Bergspitze in der mitte, ein
> inneres lokales Extremum ist, aber es sind die beiden
> kleinen Berge, links.
Richtig: die beiden ersten Berge sind sowohl lokale als auch innere Maxima. Der rechte Berg, in dessen Anstieg die Etappe endet, ist ein Randmaximum und gleichzeitig mit 2000m Höhe das globale Maximum.
Siehst du: du hast es doch drauf!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 01.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi Diophant,
ich habs nochmal rausgesucht, was du damals meintest, was ich noch machen sollte:
Damals schrieb ich:
Da ich keine lokalen u. globalen Extrema berechnen muss, reicht´s zu wissen, was ist was. (Niveau 10.Kl. Gym)
Extrema erstmal allg. sind Punkte, die ihr Steigungsverhalten wechseln:
HP: von steigend über null zu fallend
TP: von fallend über null zu steigend
Du antwortetest:
10. Klasse hin oder her: das gilt nur für innere Extrema, nicht für Randextrema, die in der Schule durchaus auch vorkommen werden.
Warum? Weil ein Randextremum nicht komplett sein muss, d.h. in der Mitte, da wo Steig.=0, z.B. "durchgeschnitten" sein kann? Das würde heißen, dass der Weg von steigend über null zu fallend u. umgekehrt, nicht vollständig sein muss, um trotzdem Randextremum zu sein.
Wenn man von Randextrema spricht, dann nimmt man an, das es sich um Extrema handelt, die direkt auf der Grenze liegen, wo das Intervall oder der Def.bereich zuende ist.
Ist das richtig? Ja, soll ich mir das so vorstellen?
Es stört mich doch sehr, wo Marcel zuvor div. Begriffe, die mehr od. weniger ähnl. klingen, mal ordentl. auseinander getextet hat, ich dennoch son Mist schreibe wie:
Extrema erstmal allg. sind Punkte, die......
Ein Pkt. ist für mich eine Koordinate aus (x/y), aber Extrema sind nur die y-Werte an der Stelle [mm] x_E
[/mm]
Bis hierhin erstmal - muss leider JETZT los
S.
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Hallo Sabine,
> Hi Diophant,
> ich habs nochmal rausgesucht, was du damals meintest, was
> ich noch machen sollte:
>
> Damals schrieb ich:
> Da ich keine lokalen u. globalen Extrema berechnen muss,
> reicht´s zu wissen, was ist was. (Niveau 10.Kl. Gym)
> Extrema erstmal allg. sind Punkte, die ihr
> Steigungsverhalten wechseln:
> HP: von steigend über null zu fallend
> TP: von fallend über null zu steigend
>
> Du antwortetest:
> 10. Klasse hin oder her: das gilt nur für innere Extrema,
> nicht für Randextrema, die in der Schule durchaus auch
> vorkommen werden.
>
> Warum? Weil ein Randextremum nicht komplett sein muss, d.h.
> in der Mitte, da wo Steig.=0, z.B. "durchgeschnitten" sein
> kann? Das würde heißen, dass der Weg von steigend über
> null zu fallend u. umgekehrt, nicht vollständig sein muss,
> um trotzdem Randextremum zu sein.
Extremum, als lateinisches Substantiv aufgefasst, bedeutet so viel ich weiß (mein großes Latinum ist aber schon sehr lange her) soviel wie der/bzw. das letzte (aber natürlich keinsesfalls negativ konnotiert). In diesem Sinn bezeichnet man bei einer Funktion solche Werte, die sich dadurch auszeichnen, dass sie höher oder tiefer liegen als alle anderen Punkte des Schaubilds in einer (beliebig kleinen) Umgebung um diesen Extrempunkt. Vielleicht hiolft es dir auch, dir einen Denkfehler aufzuzeigen, den du machst: von der Schulmathematik her ist man in Sachen Funktionsgraphen diese schön geschwungenen Kurven gewohnt, die man in einem Schwung durchzeichnen kann. Das ist aber eben keine Selbstverständlichkeit. Extremwerte können auch völlig isoliert liegen, es können Punkte sein, an denen der Funktionsgraph einen Knick hat, und da gibt es noch weitere Möglichkeiten. Eine davon ist die, dass man eine Funktion nur auf einem willkürlich eingeschränktgen Definitionsbereich bertachtet. Dann hat das Schaubild Ränder, und wenn der Definitionsbereich an diesen Rändern abgeschlossen ist (d.h., der Ranpunkt gehört zum Funktionsgraph), dann ist er auch ein Extremum im Sinne von tiefstem oder höchstem Wert.
Und im Rahmen der Schulmathematik am Gymnasium wird so etwas sogar zunehmend mehr und mehr verlangt, denn die Prüfungsaufgaben werden anwendungsorientierter, das ist politisch so gewollt, und die Anwendungen richten sich eben nicht nach der Mathematik sondern es ist andersherum: die Mathematik richtet sich nach Sinn und Zweck der Anwendung aus (manchmal sogar so, dass es fast weh tut ).
> Wenn man von Randextrema spricht, dann nimmt man an, das
> es sich um Extrema handelt, die direkt auf der Grenze
> liegen, wo das Intervall oder der Def.bereich zuende ist.
> Ist das richtig? Ja, soll ich mir das so vorstellen?
Ja, das ist mal für deine Bedürfnisse eine ausreichende Vorstellung, auf der du aufbauen kannst.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 So 01.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
doppelter Eintrag gewesen
keine Ahnung warum
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 01.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Diophant,
so, JETZT bin ich weiter.
Das ist ja mal ein richtige Highlight!
Zu Extrema dachte ich bisher, dass es immer Fkt-werte sind, die zu einer Bergkuppe oder einem Tal gehören (also mittig mit Steig.=0). Und genau das dachte ich auch über Randextrema. Und das ist falsch - ein Bildchen tut gut:
[mm] D_f= [/mm] die x-Werte gehen nur von 1 bis 5
d.h. die Fkt. ist nur für dieses Intervall def.
Bei x=5 ist ein Randextremum (Randmaximum?)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und jetzt ist mir auch endlich unser ursprl. Dialog klar:
Ich schrieb:
allg. Extrema
sind Punkte, die ihr Steigungsverhalten wechseln:
HP: von steigend über null zu fallen
TP: von fallend über null zu steigend
(u. so nebenbei; genau das tut auch ein globales)
Und du antwortetest:
Das gilt nur für innere Extrema, nicht für Randextrema, die in der Schule durchaus auch vorkommen. Das können entweder Punkte am Rand eines Schaubilds sein, wenn die Definitionsmenge dort abgeschlossen ist (A.d.V.: wie auf meinem Bildchen), oder Knickstellen im Verlauf der Funktion. So besitzt bspw. die Betragsfunktion f(x)=|x| ein absolutes Minimum in (0|0), welches du aber niemals über die 1. Ableitung bekommst, da diese Funktion an der Stelle x=0 überhaupt nicht differenzierbar ist. Tu dir also den Gefallen: mache es dir jetzt nicht zu einfach, du wirst diese Dinge bald benötigen!
Ich danke dir, dass du so darauf bestanden hast u. ich dir vertraut u. es tatsächl. nachgeholt habe! Das hat sich in der Tat gelohnt.
Jetzt soll mir aber erstmal genügen, was ich über Randextrema ENDLICH neu dazu gelernt habe.
Ich weiß ich kann jetzt nur ein Bsp. u. das mit dem z.B. Knick wäre ein weiteres Bsp.
Einverstanden?
Nur bitte noch eine letzte Frage:
Äußere Extrema sind immer Randextrema?
Und die dazwischen immer innere Extrema, unabhg. ob lokal oder global?
Ich darf die Wörter innere u. äußere also rein örtlich/ortsbezogen verstehen?
Dir einen wunderschönen restl. Sonntag
u. ebensolchen Montag und Dienstag und ...
(ich bin albern jetzt, aber nein, wirkl.: Lass es dir gut gehen)
DANKE
Sabine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Sabine,
> Hallo Diophant,
> so, JETZT bin ich weiter.
> Das ist ja mal ein richtige Highlight!
> Zu Extrema dachte ich bisher, dass es immer Fkt-werte
> sind, die zu einer Bergkuppe oder einem Tal gehören (also
> mittig mit Steig.=0). Und genau das dachte ich auch über
> Randextrema. Und das ist falsch - ein Bildchen tut gut:
> [mm]D_f=[/mm] die x-Werte gehen nur von 1 bis 5
> d.h. die Fkt. ist nur für dieses Intervall def.
> Bei x=5 ist ein Randextremum (Randmaximum?)
>
> <IMG class=preview alt=attach:901137:1 src="editor/extrafiles/images/imageplaceholder.jpg" _cke_realelement="true">
>
Genau so ist es: das Extremum bei x=5 ist global, und es ist ein Randextremum.
> Und jetzt ist mir auch endlich unser ursprl. Dialog klar:
>
> Ich schrieb:
> allg. Extrema
> sind Punkte, die ihr Steigungsverhalten wechseln:
> HP: von steigend über null zu fallen
> TP: von fallend über null zu steigend
> (u. so nebenbei; genau das tut auch ein globales)
>
> Und du antwortetest:
> Das gilt nur für innere Extrema, nicht für Randextrema,
> die in der Schule durchaus auch vorkommen. Das können
> entweder Punkte am Rand eines Schaubilds sein, wenn die
> Definitionsmenge dort abgeschlossen ist (A.d.V.: wie auf
> meinem Bildchen), oder Knickstellen im Verlauf der
> Funktion. So besitzt bspw. die Betragsfunktion f(x)=|x| ein
> absolutes Minimum in (0|0), welches du aber niemals über
> die 1. Ableitung bekommst, da diese Funktion an der Stelle
> x=0 überhaupt nicht differenzierbar ist. Tu dir also den
> Gefallen: mache es dir jetzt nicht zu einfach, du wirst
> diese Dinge bald benötigen!
>
> Ich danke dir, dass du so darauf bestanden hast u. ich dir
> vertraut u. es tatsächl. nachgeholt habe! Das hat sich in
> der Tat gelohnt.
>
> Jetzt soll mir aber erstmal genügen, was ich über
> Randextrema ENDLICH neu dazu gelernt habe.
> Ich weiß ich kann jetzt nur ein Bsp. u. das mit dem z.B.
> Knick wäre ein weiteres Bsp.
> Einverstanden?
Klar, immer.
> Nur bitte noch eine letzte Frage:
> Äußere Extrema sind immer Randextrema?
Ehrlich gesagt: den Begriff äußere Extrema kenne ich eigentlich gar nicht. Beim Googeln findet man auch nichts wirklich seriöses, nur diese einschlägig bekannten Mathevideos scheinen den begriff zu verwenden, aber das hat nicht viel szu sagen...
Ich nenne alle diese Dinge Randextrema, also an den Rändern eines stetigen Graphen oder an einem Knick eines solchen. Nur wenn ein Extremweret aus einem isolierten Punkt besteht, muss man sich noch anderer Namensgebungen bedienen, aber das gehört nicht mit in deine Frage hinein, das führt zu weit vorerst.
> Und die dazwischen immer innere Extrema, unabhg. ob lokal
> oder global?
Wie gesagt: innere Extrema besitzen stets eine waagerechte Tangente und damit gilt für sie die notwendige Bedingung f'(x)=0.
> Ich darf die Wörter innere u. äußere also rein
> örtlich/ortsbezogen verstehen?
Nee, eben nicht; siehe oben.
> Dir einen wunderschönen restl. Sonntag
> u. ebensolchen Montag und Dienstag und ...
> (ich bin albern jetzt, aber nein, wirkl.: Lass es dir gut
> gehen)
Ebenso. Ich habe seit Samstag einen Dachschaden (aber nur am Auto), um den darf ich mich jetzt kümmern...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend,
ich habe mir mal die Erläuterg. div. Begriffe notiert, wie
Extremstelle= x-Wert, wo Fkt. Minimum oder Maximum hat, also [mm] x_E
[/mm]
Extremwerte = sind Fkt.werte [mm] f(x_E) [/mm] von Minima und Maxima
Extremum (sg.) = ist eine Extremstelle [mm] x_E
[/mm]
Extrema (pl.) = sind mind. 2 Extemstellen
Maximum = ist ein Fkt.wert [mm] f(x_E), [/mm] wo Steig. wechselt von + zu -
Minimum = ist ein Fkt.wert [mm] f(x_E), [/mm] wo Steig. wechselt von + zu -
Maxima = sind Fkt.werte; Plural von Maximum
Minima = sind Fkt.werte; Plural von Maximum
Ich habe hier allerdings widersprüchl. Angaben u. vermute, dass das rote oben falsch ist.
Und blau unten ist richtig?
(habe es versucht zu ergoogeln, aber da wird überall gleich in verschiedenen Zus.hängen hantiert, ohne das vorab der Begriff an sich erklärt wird).
Ein Extremum ist gleichbedeutend mit Extremwert, unter beiden versteht man einen Fkt.wert an der Extremstelle [mm] f(x_E)
[/mm]
Extremwerte sind Extrema = mind. 2 Fkt.werte f($ [mm] x_{E1}$), [/mm] f($ [mm] x_{E2}$), [/mm] usw.
Für Antw. vielen DANK!
Gruß
SAbine
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:54 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Giraffe |
bitte noch eine weitere Frage
Marcel schrieb in diesem Thread (Datum: 20:20 Sa 07.04.2012):
"......(nebenbei: globale sind immer auch lokale)"
Jetzt schreibt wieder Sabine:
Extrema haben immer einen Steigungswechsel, dann muss doch ein lokales Maximum eine waagerechte Tangente haben. Nun habe ich gerade gelernt, dass bei einem globalen Maxium nicht zwingend auch Steigs.wechsel sein muss. Und da frage ich mich nun: Wieso ein globales auch immer ein lokales sein soll?
Dann schreibt Eisfisch (Datum: 22:51 Di 10.04.2012) zu
> > nebenbei: globale sind immer auch lokale)
nur das Wörtchen
NEIN
Aber, ich glaube Diophant hat auch gesagt, dass alle absoluten Extrema auch rel. Extrema sind.
Lieber wäre mir eine klare Trennung u. keine teilweise Übereinstimmg.
Was stimmt jetzt?
Für Klärung vielen DANK
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Di 03.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> bitte noch eine weitere Frage
>
> Marcel schrieb in diesem Thread (Datum: 20:20 Sa
> 07.04.2012):
> "......(nebenbei: globale sind immer auch lokale)"
>
> Jetzt schreibt wieder Sabine:
> Extrema haben immer einen Steigungswechsel, dann muss doch
> ein lokales Maximum eine waagerechte Tangente haben.
wie gesagt: Sowas kannst Du nicht immer sagen. Da gibt's sowas wie innere Extremstellen etc..
Per Definitionem ist das, was ich schrieb', klar:
1.) Eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] hat an [mm] $x_0 \in [/mm] D$ ein globales Maximum, wenn [mm] $f(x_0) \ge [/mm] f(x)$ FÜR ALLE $x [mm] \in [/mm] D$ ist.
2.) Eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] hat an [mm] $x_0 \in [/mm] D$ ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung $U [mm] \subseteq [/mm] D$ von [mm] $x_0$ [/mm] gibt, so dass [mm] $f(x_0) \ge [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in U\,.$
[/mm]
Und wenn gemäß 1.) nun [mm] $f(x_0) \ge [/mm] f(x)$ sogar für alle $x [mm] \in D\,,$ [/mm] dann ist, weil [mm] $D\,$ [/mm] eine Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] ist, sicher auch [mm] $f(x_0) \ge [/mm] f(x)$ für die Umgebung $U:=D [mm] \subseteq [/mm] D$ von [mm] $x_0$ [/mm] gegeben, also ist 2.) erfüllt!
Also: Vorsicht mit "Steigungen" und Steigungswechsel. Nicht alle Graphen von Funktionen lassen sich "glatt" durchzeichnen. Da braucht man schon etwas, denn:
Betrachte mal [mm] $f(x):=1-(x-[x])\,,$ [/mm] wobei [mm] $[x]\,$ [/mm] die Gaußklammer von [mm] $x\,$ [/mm] sei. Was machen denn die Steigungen links und rechts von den Maximalstellen?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 04.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 03.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Guten Abend,
> ich habe mir mal die Erläuterg. div. Begriffe notiert,
> wie
>
> Extremstelle= x-Wert, wo Fkt. Minimum oder Maximum hat,
> also [mm]x_E[/mm]
ja, das kann man so stehen lassen (für Schulmathematik allemal). Allgemeiner würde man [mm] $x_E$ [/mm] aus dem Definitionsbereich der betrachteten Funktion schreiben, aber lassen wir das.
> Extremwerte = sind Fkt.werte [mm]f(x_E)[/mm] von Minima und
Schreibe besser "bzw." anstatt des "und"!
> Maxima
Genau!
> Extremum (sg.) = ist eine Extremstelle [mm]x_E[/mm]
Nein. Schau' bei Wikipedia: Hier geht's wieder um die Funktionswerte!
> Extrema (pl.) = sind mind. 2 Extemstellen
Auch hier geht's wieder um die Funktionswerte. Dieses "mindestens 2" braucht man nicht - denn, wenn ich Dich frage, welche Extrema etwa die Funktion $f: [mm] [1/2,\;\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1/x\,$ [/mm] hat, solltest Du feststellen, dass diese Funktion nur ein Maximum hat. Das Maximum ist [mm] $2\,$ [/mm] und wird an der Stelle [mm] $x=1/2\,$ [/mm] angenommen: [mm] $f(1/2)=1/(1/2)=2\,.$ [/mm] Das weiß man aber nicht vorher. Aber sprachlich gesehen hast Du recht: Mehrzahl macht erst Sinn, wenn man nicht [mm] $\le [/mm] 1$ von etwas hat!
Nebenbei: Die Funktion $f(x)=1$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] hat unendlich viele Etxremstellen, aber nur ein Extremum, und das ist das Maximum und das Minimum dieser Funktion!
> Maximum = ist ein Fkt.wert [mm]f(x_E),[/mm] wo Steig. wechselt von
> + zu -
Was, wenn es keine Steigung gibt? Betrachte mal [mm] $f(x):=-x^2*1_{\IQ}(x)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $f(0):=1\,.$ [/mm] Ich könnte Dir noch "blödere" Funktionen hinschreiben. Grob gesagt würde ich, ohne jetzt den Umgebungsbegriff etwa verwenden zu wollen, eher sowas sagen:
Ein Maximum einer Funktion liegt an einer Stelle [mm] $x_M$ [/mm] dann vor, wenn es ein kleine echt positive Zahl [mm] $\delta [/mm] > 0$ so gibt, dass alle Stellen [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs, deren Abstand zu [mm] $x_M$ [/mm] echt kleiner als [mm] $\delta$ [/mm] ist, immer Funktionswerte haben, die [mm] $\le f(x_M)$ [/mm] sind.
Machen wir's mal beispielhaft: Wir nehmen nun mal [mm] $f:\underbrace{[0,1/2] \cup [1,\;\infty)}_{=:D_f} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1/x\,$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 1$ und [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 1/2\,.$ [/mm] Wieso ist [mm] $f(1)=1\,$ [/mm] eine Maximum? Wieso ist $f(1/2)=1/4$ ein Maximum? Wo hat [mm] $f\,$ [/mm] ein Minimum? Was würde sich ändern, wenn wir [mm] $f\,$ [/mm] "nur" auf $(0,1/2] [mm] \cup [1,\;\infty)$ [/mm] betrachten?
Ich versuche aber mal, Dir den Begriff des Maximums näherzubringen:
Für eine Funktion $f: D [mm] \subseteq \IR \to \IR$ [/mm] bezeichnet man mit
[mm] $$\text{graph}(f):=\{(x,f(x)): x \in D\}$$
[/mm]
den Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm] Das ist das, was man "sieht", wenn man "eine Funktion zeichnet": Man zeichnet deren Graphen oder deutet diesen an. Jetzt stelle Dir vor, Du hast einen Graphen eine solchen Funktion [mm] $f\,$ [/mm] vorliegen. [mm] $x_M$ [/mm] sei eine Extremstelle, an der [mm] $f\,$ [/mm] ein Maximum habe, d.h. [mm] $x_M \in [/mm] D$ ist eine Maximalstelle. Den Graphen stellen wir uns im kartesischen Koordinatensystem vor, dass wir im [mm] $\IR^2$ [/mm] veranschaulichen, also [mm] $\text{graph}(f) \subseteq \IR^2\,.$ [/mm] Wir gehen auf den Punkt [mm] $(x_M,f(x_M)) \in \text{graph}(f)\,.$ [/mm] Leg' eine Gerade parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] durch diesen Punkt. Dass [mm] $x_M$ [/mm] Maximalstelle von [mm] $f\,$ [/mm] ist, bedeutet nun, dass es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so gibt, dass:
Wenn ich $x [mm] \in [/mm] D$ und $0 < [mm] x-x_M [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] habe (d.h. [mm] $x\,$ [/mm] gehört zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $x\,$ [/mm] "liegt rechts von [mm] $x_M$ [/mm] und hat einen Abstand $< [mm] \delta$ [/mm] zu [mm] $x_M$"), [/mm] dann wird schon $f(x) [mm] \le f(x_M)$ [/mm] sein.
Wenn ich $x [mm] \in [/mm] D$ und $0 < [mm] x_M-x [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] habe (d.h. [mm] $x\,$ [/mm] gehört zum Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $x\,$ [/mm] "liegt links von [mm] $x_M$ [/mm] und hat einen Abstand $< [mm] \delta$ [/mm] zu [mm] $x_M$"), [/mm] dann wird schon $f(x) [mm] \le f(x_M)$ [/mm] sein.
Das bedeutet: "lokal" liegen die Punkte des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] stets unterhalb oder auf der oben gezeichneten Geraden - wobei "lokal" heißt, das die [mm] $x\,$ [/mm] Stellen jedenfalls in einem Grenzabstand sich immer befinden!
Oder mal ein bisschen bildhafter: Ich bin [mm] $x_M\,,$ [/mm] und ich habe nun ein Seil der Länge [mm] $\delta [/mm] > 0$ festgehalten, wobei ich [mm] $\delta$ [/mm] variieren kann. Nun kommt ein [mm] $x\,$ [/mm] daher, dieses [mm] $x\,$ [/mm] liege im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] (nur solche dürfen sich an meinem Seil festhalten) und hält sich an meinem Seil fest. Dass [mm] $|x-x_M| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] heißt nun, dass das Seil "locker" hängt. Und ich weiß nun, dass, wenn ich das Seil nur klein genug mache, dass dann jedes [mm] $x\,,$ [/mm] welches sich an mein Seil hängen darf, dann einen Funktionswert haben wird, der [mm] $\le$ [/mm] dem meinem ist. Und wenn ich ggf. das [mm] $\delta [/mm] > 0$ so klein machen kann, dass außer mir selbst sich niemand mehr ans Seil hängen kann, na: Dann bin ich mit Sicherheit lokale Maximal- und auch lokale Minimalstelle!
Und damit das ganze etwas anschaulicher wird:
1.) Was ist mit Funktionen $f: [mm] \IN \to \IR$?
[/mm]
2.) Komplizierter:
Betrachte mal $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x\,.$ [/mm] Dabei sei [mm] $M:=\{(1/2)^p: p \in \IN_0\}\,.$
[/mm]
Was sind hier jeweils Maximalstellen? Was Minimalstellen? Was sind Maxima, was Minima? Gibt's globale Extremstellen?
Tipp zu 2): Betrachte mal für [mm] $m=(1/2)^p \in [/mm] M$ dann [mm] $\delta=\delta_m:=(1/2)^p-(1/2)^{p+1},$ [/mm] wenn Du was beweisen willst. Dann wird Dir vielleicht auch "klarer", was man mit 'lokal' meint...
> Minimum = ist ein Fkt.wert [mm]f(x_E),[/mm] wo Steig. wechselt von
> + zu -
Wie gesagt: Steigungswechsel macht nur dann Sinn, wenn überhaupt "beidseitig" Steigungen existieren.
Grob kann man auch sagen: Ein Minimum ist ein Funktionswert einer Minimalstelle. Eine Minimalstelle ist eine Stelle des Definitionsbereichs, wo 'lokal' (d.h. bei Stellen des Definitionsbereichs, die genügend nahe an "der betrachteten Minimalstelle" liegen) Funktionswerte immer [mm] $\ge$ [/mm] dem Funktionswert der betrachteten Minimalstelle sind.
> Maxima = sind Fkt.werte; Plural von Maximum
> Minima = sind Fkt.werte; Plural von Maximum
>
> Ich habe hier allerdings widersprüchl. Angaben u. vermute,
> dass das rote oben falsch ist.
> Und blau unten ist richtig?
> (habe es versucht zu ergoogeln, aber da wird überall
> gleich in verschiedenen Zus.hängen hantiert, ohne das
> vorab der Begriff an sich erklärt wird).
>
> Ein Extremum ist gleichbedeutend mit Extremwert, unter
> beiden versteht man einen Fkt.wert an der Extremstelle
> [mm]f(x_E)[/mm]
>
> Extremwerte sind Extrema = mind. 2 Fkt.werte f([mm] x_{E1}[/mm]), f([mm] x_{E2}[/mm]),
> usw.
>
> Für Antw. vielen DANK!
> Gruß
> SAbine
>
P.S.
Ganz interessant zu untersuchen ist auch die Funktion [mm] $f(x):=x*\sin(x)\,,$ [/mm] oder [mm] $g(x):=|x*\sin(x)|\,.$
[/mm]
P.P.S.
Oft sieht man auch die Definition: Eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] hat an [mm] $x_0$ [/mm] eine Minimalstelle (nimmt dort ein Minimum an), wenn die Funktion $-f: D [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch $-f(x):=-(f(x))$ ($x [mm] \in [/mm] D$) an [mm] $x_0$ [/mm] eine Maximalstelle hat (dort ein Maximum annimmt). Natürlich wird dann vorher erst der Begriff Maximalstelle definiert!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Lieber Marcel, bitte nicht enttäuscht sein. Und bitte auch
> nicht den Schluss ziehen, Anfängern nie wieder zu helfen.
Quatsch. Das Problem hier ist für mich einfach: Man kann diesen Begriff der Umgebung sehr abstrakt benutzen, oder man kann versuchen, ihn zumindest so zu benutzen, dass er für bestimmte Zwecke dienlich ist. Der allgemeine Begriff ist natürlich auch meist zwecksdienlich, aber da braucht man einiges an Hintergrundwissen, was man nicht von jedem verlangen kann...
Naja, ich guck' mal drüber, was hier so noch dazu geschrieben worden ist!
Gruß,
Marcel
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Hallo Sabine,
> den Unterschied zwischen lokales/rel. und
> globales(absolutes Extremum habe ich begriffen, allerdings
> nur als Basiswissen.
> Ich möchte die Vorstellungen über rel. u. globales
> Extremum jedoch erweitern, im Hinblick auf zweierlei:
> a) Randextrema (innere u. äußere Extrema) und
> b) Intervall u. Umgebung
> Mit welchem fange ich am besten an? a) oder b)?
Das ist eigentlich gleichgültig, denn: es hat beides nichts damit zu tun, ob ein Extremum lokal oder global ist.
Ich versuchs nochmal mit Beispielen: ein globales Maximum ist der absolut höchste Punkt eines Funktionsgraphen, d.h., es gibt keinen anderen x-Wert, an dem die Funktion einen größeren Wert annimmt als eben diesen einen, an dem das globale Maximum liegt. Gibt es jedoch zu einem Maximum noch andere Stellen, an denen die Funktion gleich oder größer ist, dann handelt es sich um ein lokales Maximum.
Ein innerer Extremwert einer Funktion vom Typ [mm] \IR->\IR [/mm] (das sind die Funktionen, die du derzeit betrachtest, aber man muss es dazusagen) ist ein Extrempunkt, an welchem die Tangente an das Schaubild waagerecht verläuft. Das ist ebenfalls bei deinem derzeitigen Stoff der Regelfall.
Wenn du aber dir bspw. mal das Schaubild der Wurzelfunktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] ansiehst, dann wirst du mir Recht geben, dass es im Ursprung sein globales Minimum besitzt. Von einer waagerechten Tangente kann dort aber keine Rede sein. Das Schaubild beginnt im Ursprung, und zwar senkrecht. Dieses Minimum nennt man ein Randminimum, bzw. allgemeiner ein Randextremum.
>
> Leider weiß ich nur, dass innere Extrema z.B. nicht die
> sind, die man normalerweise denken würde, wenn man es
> nicht mathematisch betrachtet.
> Und was ist der Unterschied zwischen einem Intervall u.
> einer Umgebung?
> zu Intervall ist mir bekannt:
> offenes u. geschlossenes Intervall
> offenes = ohne die Randpunkte (ja, richtig?)
> Ist eine Umgebung auch so klar begrenzt?
> Am liebsten wäre mir, wenn Intervall dasselbe ist wie
> Umgebung.
In gewisser Hinsicht kann man das als das gleiche betrachten, rein technisch gesehen. Aber die Mathematik ist eben auch eine Wissenschaft, in der man sehr stark qualitativ denken muss.
Bei einem Intervall kannt man in der Regel die Grenzen. So können bspw. die Lösungen einer Ungleichung in einem bsteimmten Intervall liegen, odewr die Quadratwurzel einer Zahl lässt sich durch ein Intervall abschätzen, usw. usf. In all diesen Fällen wird man untere und obere Grenze des Intervalls entweder kennen, oder doch zumindest als fest voraussetzen.
Wenn man von einer Umgebung spricht, dann sieht das eben qualitativ anders aus: dann denkt man sich die Grenzen des Intervalls beliebig nah an den Punkte heran, um den man die Umgebung legt. Nur eben i.d.R. eben nicht so nah, dass der Punkt selbst auf dem Rand liegt, sondern innerhalb der Umgebung bleibt.
Der Begriff der Umgebung ist vielleicht das Schlüsselkonzept der Analysis schlechthin. Auch ist er historisch gesehen schon relativ alt: schon die antiken Griechen arbeiteten mit Abschätzungsmethoden wie bspw. der Exhaustionsmethode, in der das Konzept der Umgebung bei tieferer Betrachtung auch schon drinsteckt. Von daher ist es nicht verwunderlich, wenn man sich speziell mit diesem Begriff auch mal eine Weile lang schwertut.
Gruß, Diophant
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