lokal Lipschitz - stetig < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Im Zusammenhang mit den lokalen und globalen Existenz - und Eindeutigkeitssätzen bei gewönlichen DGL haben wir den Begriff der lokalen Lipschitz - Stetigkeit eingeführt.
Dabei wurde die folgende Bemerkung aufgeschrieben, die ich nicht verstehe.
Bemerkung :
Sei X offen in [mm] \mathbb R^n [/mm] und [mm] f: X \to \mathbb R [/mm] sei von der Klasse [mm] C^1 [/mm].
Dann ist f lokal - Lipschitz - stetig.
Kann mir jemand erläutern warum dies so ist?
Den Tipp, den ich erhalten habe, ist, dass dies nach dem Mittelwertsatz gilt....
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Guten Tag!
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> Im Zusammenhang mit den lokalen und globalen Existenz - und
> Eindeutigkeitssätzen bei gewönlichen DGL haben wir den
> Begriff der lokalen Lipschitz - Stetigkeit eingeführt.
> Dabei wurde die folgende Bemerkung aufgeschrieben, die ich
> nicht verstehe.
>
> Bemerkung :
>
> Sei X offen in [mm]\mathbb R^n[/mm] und [mm]f: X \to \mathbb R[/mm] sei von
> der Klasse [mm]C^1 [/mm].
> Dann ist f lokal - Lipschitz - stetig.
>
> Kann mir jemand erläutern warum dies so ist?
Es ist einfach ein Satz. Einfach so erläutern kann ich dir das nicht... der Beweis ist auch nicht so ganz trivial.
> Den Tipp, den ich erhalten habe, ist, dass dies nach dem
> Mittelwertsatz gilt....
MWS für höherdimensionale Funktionen? Kenn' ich nur für [mm] \IR^2, [/mm] und schon da ist er recht kompliziert.
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> Danke für die Hilfe!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mi 09.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Behauptung:
ei X offen in $ [mm] \mathbb R^n [/mm] $ und $ f: X [mm] \to \mathbb [/mm] R $ sei von der Klasse $ [mm] C^1 [/mm] $.
Dann ist f lokal - Lipschitz - stetig.
Beweis:Zu zeigen ist: ist K eine abgeschlossene Kreisscheibe in X, so ex. ein L>_ 0 mit: |f(u)-f(v)|<_L||u-v|| für jedes u und jedes v in K.
Da f stetig differenzierbar ist, ist ||f'|| auf K beschränkt, es ex. also ein L>_0, so dass ||f'(w)||<_L für jedes w in K.
Seien nun u und v in K. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein w in K (genauer :
w liegt auf der Verbindungsstrecke von u und v) mit:
f(u)-f(v) = f'(w)*(u-v) (* ist hier das Skalarprodukt auf [mm] R^n [/mm] ).
Folglich (mit der Cauchy-Schwarzschen -Ungleichung)
|f(u)-f(v)| = |f'(w)*(u-v)| <_ ||f'(w)|| ||u-v|| <_ L||u-v||.
FRED
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