lok. Extrema einer < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
[mm] g:\IR^2->\IR, g(x,y)=x*y^2 [/mm] - [mm] x^2-2y^2 [/mm] |
Hallo,
ich habe als Lösung:
[mm] \partial_1 g(x,y)=y^2-2x
[/mm]
[mm] \partial_2 [/mm] g(x,y)=2xy-4y
=> [mm] grad(g(x,y))=\vektor{ y^2-2x\\2xy-4y }
[/mm]
[mm] grad(g(x,y))=\vektor{ y^2-2x\\2xy-4y }=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
=>
[mm] y^2-2x=0
[/mm]
[mm] <=>y^2=2x
[/mm]
[mm] <=>y=\wurzel{2x}
[/mm]
2xy-4y =0
<=>2xy=4y
<=>2x=4
<=>x=2
x eingesetzt in [mm] y=\wurzel{2x}: [/mm] y=2
Somit ist (2,2) ein mögliches Extremum.
[mm] \partial_1\partial_1 [/mm] g(x,y) = -2
[mm] \partial_2 \partial_1 [/mm] g(x,y)= 2y
[mm] \partial_1 \partial_2 [/mm] g(x,y)= 2y
[mm] \partial_2 \partial_2 [/mm] g(x,y) = 2x-4
=> Hesse-Matrix(g(x,y)) [mm] =\pmat{ -2 & 2y \\2y & 2x-4 }
[/mm]
Hesse-Matrix(g(2,2)) [mm] =\pmat{ -2 & 4 \\4 & 0} [/mm]
Eigenwerte von Hesse-Matrix(g(2,2)):
[mm] det(\pmat{ -2-\lambda & 4 \\4 & 0-\lambda})= (-2-\lambda)*(-\lambda)-4*4 [/mm]
= [mm] \lambda^2+2\lambda-16
[/mm]
[mm] \lambda_1,\lambda_2= -(2/2)+-\wurzel{(2/2)^2+16}= -1+-\wurzel{1+16}= -1+-\wurzel{17}
[/mm]
[mm] \lambda_1=- -1+\wurzel{17}>0
[/mm]
[mm] \lambda_1=- -1-\wurzel{17}<0
[/mm]
Also ist die Hesse-Matrix indefinit und somit ist (2,2) kein lok. Extremum.
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hallo sommer,
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
> [mm]g:\IR^2->\IR, g(x,y)=x*y^2[/mm] - [mm]x^2-2y^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe als Lösung:
> [mm]\partial_1 g(x,y)=y^2-2x[/mm]
> [mm]\partial_2[/mm] g(x,y)=2xy-4y
>
> => [mm]grad(g(x,y))=\vektor{ y^2-2x\\2xy-4y }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]grad(g(x,y))=\vektor{ y^2-2x\\2xy-4y }=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> =>
> [mm]y^2-2x=0[/mm]
> [mm]<=>y^2=2x[/mm]
> [mm]<=>y=\wurzel{2x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Diese Äquivalenz gilt nicht, du hast hier eine Lösung unterschlagen ...
>
> 2xy-4y =0
> <=>2xy=4y
> <=>2x=4
> <=>x=2
>
> x eingesetzt in [mm]y=\wurzel{2x}:[/mm] y=2
>
> Somit ist (2,2) ein mögliches Extremum.
>
>
> [mm]\partial_1\partial_1[/mm] g(x,y) = -2
> [mm]\partial_2 \partial_1[/mm] g(x,y)= 2y
> [mm]\partial_1 \partial_2[/mm] g(x,y)= 2y
> [mm]\partial_2 \partial_2[/mm] g(x,y) = 2x-4
>
> => Hesse-Matrix(g(x,y)) [mm]=\pmat{ -2 & 2y \\2y & 2x-4 }[/mm]
>
> Hesse-Matrix(g(2,2)) [mm]=\pmat{ -2 & 4 \\4 & 0}[/mm]
>
> Eigenwerte von Hesse-Matrix(g(2,2)):
> [mm]det(\pmat{ -2-\lambda & 4 \\4 & 0-\lambda})= (-2-\lambda)*(-\lambda)-4*4[/mm]
> = [mm]\lambda^2+2\lambda-16[/mm]
>
> [mm]\lambda_1,\lambda_2= -(2/2)+-\wurzel{(2/2)^2+16}= -1+-\wurzel{1+16}= -1+-\wurzel{17}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=- -1+\wurzel{17}>0[/mm]
> [mm]\lambda_1=- -1-\wurzel{17}<0[/mm]
Das sind aber viele "-"  , aber du meinst es richtig!
>
> Also ist die Hesse-Matrix indefinit und somit ist (2,2)
> kein lok. Extremum.
Genau, bei $(x,y)=(2,2)$ liegt ein Sattelpunkt vor.
Du hast aber 2 weitere mögliche Extremstellen (noch) nicht betrachtet!
Ich hätte angefangen, [mm] $\partial_2g(x,y)=0$ [/mm] zu betrachten, da kann man so schön viel ausklammern
[mm] $\partial_2g(x,y)=0\gdw 2xy-4y=0\gdw 2y(x-2)=0\gdw y=0\vee [/mm] x=2$ ...
Damit dann in [mm] $\partial_1g(x,y)$ [/mm] rein ...
Aber bis hierher sehr gut, nimm dir nun die beiden anderen stationären Punkte vor
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
Zurück!
schachuzipus
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Weitere mögliche lok. Extrema: (2,-2) und (2,0):
Hesse-Matrix(g(x,y)) $ [mm] =\pmat{ -2 & 2y \\2y & 2x-4 } [/mm] $
=>
Hesse-Matrix(g(2,-2)) $ [mm] =\pmat{ -2 & -4 \\-4 & 0 } [/mm] $
[mm] det(\pmat{ -2-\lambda & -4 \\-4 & -\lambda } [/mm] ) =
( [mm] -2-\lambda)*(-\lambda)-16 [/mm] = ...
=> $ [mm] \lambda_1= -1+\wurzel{17}>0 [/mm] $
$ [mm] \lambda_1= -1-\wurzel{17}<0 [/mm] $
Also (2,-2) ist kein lok. Extremum.
Hesse-Matrix(g(2,0)) $ [mm] =\pmat{ -2 & 0 \\0 & 0 } [/mm] $
[mm] det(\pmat{ -2-\lambda & 0 \\0 & -\lambda })=((-2-\lambda)*(-\lambda))= 2\lambda+\lambda^2=\lambda^2 +2\lambda =\lambda(\lambda+2)
[/mm]
=>
[mm] \lambda_1=0 [/mm]
[mm] \lambda_2+2=0
[/mm]
[mm] <=>\lambda_2= [/mm] -2<0
=>(2,0) ist lok. Maximum.
Liebe Grüße
sommer
(auch wenn heute Herbstanfang ist)
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort!
>
> Weitere mögliche lok. Extrema: (2,-2) und (2,0)
Wenn du mit $y=0$ in [mm] $\partial_1g(x,y)$ [/mm] reingehst, hast du doch $-2x=0$, also $x=0$, stat. Pkt. ist also $(x,y)=(0,0)$
>
> Hesse-Matrix(g(x,y)) [mm]=\pmat{ -2 & 2y \\2y & 2x-4 }[/mm]
> =>
>
> Hesse-Matrix(g(2,-2)) [mm]=\pmat{ -2 & -4 \\-4 & 0 }[/mm]
>
> [mm]det(\pmat{ -2-\lambda & -4 \\-4 & -\lambda }[/mm] ) =
> ( [mm]-2-\lambda)*(-\lambda)-16[/mm] = ...
> => [mm]\lambda_1= -1+\wurzel{17}>0[/mm]
> [mm]\lambda_1= -1-\wurzel{17}<0[/mm]
>
> Also (2,-2) ist kein lok. Extremum.
Jo, genau wie dein erster Fall ganz oben 
>
> Hesse-Matrix(g(2,0)) [mm]=\pmat{ -2 & 0 \\0 & 0 }[/mm]
> [mm]det(\pmat{ -2-\lambda & 0 \\0 & -\lambda })=((-2-\lambda)*(-\lambda))= 2\lambda+\lambda^2=\lambda^2 +2\lambda =\lambda(\lambda+2)[/mm]
>
> =>
> [mm]\lambda_1=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_2+2=0[/mm]
> [mm]<=>\lambda_2=[/mm] -2<0
>
> =>(2,0) ist lok. Maximum.
Das wird sich für $(0,0)$ auch ergeben ...
Ich packe mal den Graphen (etwas laienhaft zwar, aber immerhin) in den Anhang! Dort sieht man (mit etwas Phantasie) ein Max. in $(0,0)$
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
> (auch wenn heute Herbstanfang ist)
LG
schachuzipus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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