logarithmusgesetze herleiten < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Leiten Sie von exp(x)*exp(y)=exp(x+y) ausgehend folgende Beziehungen her:
(i) log(u*v)=log(u)+log(v)
(ii) [mm] log(\bruch{1}{u}=-log(u)
[/mm]
(iii) [mm] log(\bruch{u}{v})=log(u)-log(v) [/mm] |
Hi,
also die Gleichung exp(x)*exp(y)=exp(x+y) konnte ich noch herleiten. Jetzt geht es aber weiter mit den anderen Sachen. Ich muss es irendwie schaffen mit den logarithmen im Exponenten zu rechnen, ich hab aber gerade ein dickes Brett vorm Kopf und weiß nicht mehr wie es ging. Habe das alles irgendwann schonmal machen müssen. Könnte es mir bitte jemand abnehmen ?
Danke schonmal,
exeqter
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Hallo eX...,
> Leiten Sie von exp(x)*exp(y)=exp(x+y) ausgehend folgende
> Beziehungen her:
>
> (i) log(u*v)=log(u)+log(v)
> (ii) [mm]log(\bruch{1}{u}=-log(u)[/mm]
> (iii) [mm]log(\bruch{u}{v})=log(u)-log(v)[/mm]
> Hi,
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> also die Gleichung exp(x)*exp(y)=exp(x+y) konnte ich noch
> herleiten. Jetzt geht es aber weiter mit den anderen
> Sachen. Ich muss es irendwie schaffen mit den logarithmen
> im Exponenten zu rechnen, ich hab aber gerade ein dickes
> Brett vorm Kopf und weiß nicht mehr wie es ging. Habe das
> alles irgendwann schonmal machen müssen. Könnte es mir
> bitte jemand abnehmen ?
Nun, benutze die Definition des Logarithmus und die o.e. Regel für die Exponentialfunktion.
Ich mach mal die erste, die anderen gehen analog:
Mit [mm] $\log$ [/mm] ist wohl der [mm] $\ln$ [/mm] gemeint ...
Also: es ist [mm] $\ln(u)=x\gdw e^x=u$ [/mm] und [mm] $\ln(v)=y\gdw e^y=v$ [/mm] nach Def. Logarithmus
Damit [mm] $u\cdot{}v=e^x\cdot{}e^y=e^{x+y}$ [/mm] nach der Regel oben für die Exponentialfkt.
Nun wieder die Def. Logarithmus anwenden:
[mm] $u\cdot{}v=e^{x+y}\gdw \ln(u\cdot{}v)=x+y$
[/mm]
Aber es ist [mm] $x=\ln(u), y=\ln(v)$ [/mm] (siehe oben), also [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Beh.
>
> Danke schonmal,
>
> exeqter
Gruß
schachuzipus
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> Hallo eX...,
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> > Leiten Sie von exp(x)*exp(y)=exp(x+y) ausgehend folgende
> > Beziehungen her:
> >
> > (i) log(u*v)=log(u)+log(v)
> > (ii) [mm]log(\bruch{1}{u}=-log(u)[/mm]
> > (iii) [mm]log(\bruch{u}{v})=log(u)-log(v)[/mm]
> > Hi,
> >
> > also die Gleichung exp(x)*exp(y)=exp(x+y) konnte ich noch
> > herleiten. Jetzt geht es aber weiter mit den anderen
> > Sachen. Ich muss es irendwie schaffen mit den logarithmen
> > im Exponenten zu rechnen, ich hab aber gerade ein dickes
> > Brett vorm Kopf und weiß nicht mehr wie es ging. Habe das
> > alles irgendwann schonmal machen müssen. Könnte es mir
> > bitte jemand abnehmen ?
>
> Nun, benutze die Definition des Logarithmus und die o.e.
> Regel für die Exponentialfunktion.
>
> Ich mach mal die erste, die anderen gehen analog:
>
> Mit [mm]\log[/mm] ist wohl der [mm]\ln[/mm] gemeint ...
>
> Also: es ist [mm]\ln(u)=x\gdw e^x=u[/mm] und [mm]\ln(v)=y\gdw e^y=v[/mm] nach
> Def. Logarithmus
>
> Damit [mm]u\cdot{}v=e^x\cdot{}e^y=e^{x+y}[/mm] nach der Regel oben
> für die Exponentialfkt.
>
> Nun wieder die Def. Logarithmus anwenden:
>
> [mm]u\cdot{}v=e^{x+y}\gdw \ln(u\cdot{}v)=x+y[/mm]
>
> Aber es ist [mm]x=\ln(u), y=\ln(v)[/mm] (siehe oben), also
> [mm]\Rightarrow[/mm] Beh.
> >
> > Danke schonmal,
> >
> > exeqter
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Hi,
danke für deine schnelle Antwort. Für das erste hab ich das ganze hinbekommen. Beim zweiten habe ich noch eine Frage:
Muss ich es für den Nachweis umschreiben in [mm] ln(1*u^{-1}) [/mm] ?
lg,
julius
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Hallo Julius,
> > Hallo eX...,
> >
> > > Leiten Sie von exp(x)*exp(y)=exp(x+y) ausgehend folgende
> > > Beziehungen her:
> > >
> > > (i) log(u*v)=log(u)+log(v)
> > > (ii) [mm]log(\bruch{1}{u}=-log(u)[/mm]
> > > (iii) [mm]log(\bruch{u}{v})=log(u)-log(v)[/mm]
> > > Hi,
> > >
> > > also die Gleichung exp(x)*exp(y)=exp(x+y) konnte ich noch
> > > herleiten. Jetzt geht es aber weiter mit den anderen
> > > Sachen. Ich muss es irendwie schaffen mit den logarithmen
> > > im Exponenten zu rechnen, ich hab aber gerade ein dickes
> > > Brett vorm Kopf und weiß nicht mehr wie es ging. Habe das
> > > alles irgendwann schonmal machen müssen. Könnte es mir
> > > bitte jemand abnehmen ?
> >
> > Nun, benutze die Definition des Logarithmus und die o.e.
> > Regel für die Exponentialfunktion.
> >
> > Ich mach mal die erste, die anderen gehen analog:
> >
> > Mit [mm]\log[/mm] ist wohl der [mm]\ln[/mm] gemeint ...
> >
> > Also: es ist [mm]\ln(u)=x\gdw e^x=u[/mm] und [mm]\ln(v)=y\gdw e^y=v[/mm] nach
> > Def. Logarithmus
> >
> > Damit [mm]u\cdot{}v=e^x\cdot{}e^y=e^{x+y}[/mm] nach der Regel oben
> > für die Exponentialfkt.
> >
> > Nun wieder die Def. Logarithmus anwenden:
> >
> > [mm]u\cdot{}v=e^{x+y}\gdw \ln(u\cdot{}v)=x+y[/mm]
> >
> > Aber es ist [mm]x=\ln(u), y=\ln(v)[/mm] (siehe oben), also
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Beh.
> > >
> > > Danke schonmal,
> > >
> > > exeqter
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> Hi,
>
> danke für deine schnelle Antwort. Für das erste hab ich
> das ganze hinbekommen. Beim zweiten habe ich noch eine
> Frage:
> Muss ich es für den Nachweis umschreiben in [mm]ln(1*u^{-1})[/mm] ?
Naja, ob du es musst sei mal dahingestellt, aber so kannst du es auf den ersten Fall, den du ja schon bewiesen hast, zurückführen ...
Du kannst aber auch ganz analog nach dem Schema in (a) die (c) beweisen und dann (b) als Spezialfall abhandeln ...
Your choice 
>
> lg,
>
> julius
LG
Ralf
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hi nochmal,
es tut mir wirklich leid, aber ich blicke es einfach nicht... Ich komme gerade nicht dahinter, wie es geht. ich komme vom einen nicht zum nächsten schritt.. würdest du nochmal mit dem zaunpfahl winken.
lg,
exe
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Hallo nochmal,
> hi nochmal,
>
> es tut mir wirklich leid, aber ich blicke es einfach
> nicht... Ich komme gerade nicht dahinter, wie es geht. ich
> komme vom einen nicht zum nächsten schritt.. würdest du
> nochmal mit dem zaunpfahl winken.
Welche Variante denn?
Mit dem Umschreiben?
[mm] $\ln(1)=0\gdw e^0=1$ [/mm] und [mm] $\ln\left(u\right)=y\gdw e^y=u$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{u}=\frac{e^0}{e^{y}}=e^{0}\cdot{}e^{-y}=e^{-y}$
[/mm]
Nun ist das nach Def. Log. [mm] $\gdw \ln\left(\frac{1}{u}\right)=-y$
[/mm]
Und mit [mm] $y=\ln(u)$ [/mm] ist [mm] $-y=-\ln(u)$, [/mm] also ...
>
> lg,
>
> exe
Gruß
schachuzipus
PS: sorry, dass es solange dauert, aber mit zunehmendem Rotweinkonsum erhöhen sich die Typos
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 12.10.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
habe noch weiter rumprobiert und eine möglichkeit gefunden! Bin mir eben nicht sicher ob das umschreiben zulässig ist:
aus der definition aus deinem obigen post folgt:
[mm] \bruch{u}{v}=\bruch{exp(x)}{exp(y)}=exp(x)*exp(y)^{-1}=exp(x-y)
[/mm]
daher:
[mm] ln\bruch{u}{v}=x-y
[/mm]
[mm] ln\bruch{u}{v}=ln(u)-ln(v)
[/mm]
lg und DANKE!!!
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Hallo nochmal,
> hi,
>
> habe noch weiter rumprobiert und eine möglichkeit
> gefunden! Bin mir eben nicht sicher ob das umschreiben
> zulässig ist:
Na klar, die "normalen" Potenzgesete sollte man anwenden dürfen, oder?
>
> aus der definition aus deinem obigen post folgt:
>
> [mm]\bruch{u}{v}=\bruch{exp(x)}{exp(y)}=exp(x)*exp(y)^{-1}=exp(x-y)[/mm]
Jo, bzw. [mm] $\frac{u}{v}=\frac{e^x}{e^y}=e^y\cdot{}e^{-y}=e^{x+(-y)}=e^{x-y}$ [/mm] nach deiner schönen Regel für die Exponentialfkt., aus der du alles folgern sollst, Rest analog zu deiner Rechnung!
>
> daher:
>
> [mm]ln\bruch{u}{v}=x-y[/mm]
>
> [mm]ln\bruch{u}{v}=ln(u)-ln(v)[/mm]
>
> lg und DANKE!!!
Jo, gerne
Schönen Abend
schachuzipus
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