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Forum "Differentiation" - logarithmische Differentiation
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logarithmische Differentiation: ln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:14 Di 10.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

folgende Funktion soll mittels logarithmischer Differentiation abgeleitet werden:

[mm] y=2*e^{-\bruch{1}{x}} [/mm]

Mein Ansatz:

[mm] ln(y)=ln(2*e^{-\bruch{1}{x}}) [/mm]

Kettenregel links:

[mm] \bruch{y'}{y}=-\bruch{1}{x}*ln(2e) [/mm]

Produktregel rechts:

[mm] \bruch{y'}{y}=\bruch{1}{x^2}*ln(2e)-\bruch{1}{2ex} [/mm]

Nun nach y' aufgelöst:

[mm] y'=(\bruch{ln(2e)}{x^2}-\bruch{1}{2ex})*2e^{-\bruch{1}{x}} [/mm]

Ist leider nicht richtig... Die Lösung ist:

[mm] y=2(e^{-\bruch{1}{x}}*\bruch{1}{x^2}) [/mm]

Über die Kettenregel ohne logarithmieren bin ich ohne Probleme auf das Ergebnis gekommen... Aber so irgendwie nicht... Was habe ich falsch gemacht?

LG und besten Dank im Voraus...

        
Bezug
logarithmische Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:30 Di 10.12.2013
Autor: leduart

Hallo
ln(2*a)=ln2+lna
[mm] ln(e^a)=a [/mm]
das logarithmische Ableiten muß doch auch einen Sinn haben!
versuchs also noch mal mit dem log- Regeln im Kopf.
Gruß leduart

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Bezug
logarithmische Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:38 Di 10.12.2013
Autor: sonic5000

oh ja, da hast Du wohl Recht... Mal wieder ein Brett vorm Kopf...

LG

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Bezug
logarithmische Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:09 Di 10.12.2013
Autor: DieAcht

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wieso du hier logarithmieren willst, aber vielleicht dient es nur zur eigenen Übung?

  [mm] y=2e^{-\bruch{1}{x}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \ln(y)=\ln(2e^{-\frac{1}{x}})=\ln(2)+\ln(e^{-\frac{1}{x}})=\ln(2)-\frac{1}{x} [/mm]
[mm] \Rightarrow y=e^{\ln(2)-\frac{1}{x}} [/mm]

Das Spiel kannst du beliebig oft zur eigenen Übung fortführen ;-)

Jetzt du!

[mm] y'=\ldots [/mm]

DieAcht





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logarithmische Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:35 Di 10.12.2013
Autor: sonic5000

Soweit ich weiß kann man mit der logarithmischen Differentiation andere Ableitungsregeln beweisen... Deswegen versuche ich als Übung diese Art der Differentiation...

LG

Bezug
                        
Bezug
logarithmische Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:58 Di 10.12.2013
Autor: DieAcht

Leider kann ich deiner Rechnung nicht wirklich folgen.

DieAcht

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Bezug
logarithmische Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:21 Di 10.12.2013
Autor: sonic5000

Als Beispiel:

Die Potenzregel besagt:

[mm] x^n [/mm] wird abgeleitet zu [mm] n*x^{n-1} [/mm]

Wenn Du folgende Funktion logarithmierst passiert folgendes:

[mm] y=x^n [/mm]

[mm] ln(y)=ln(x^n) [/mm]

Links mit Kettenregel ableiten

[mm] \bruch{y'}{y}=n*ln(x) [/mm]

Rechts mit Produktregel ableiten:

[mm] \bruch{y'}{y}=0*ln(x)+\bruch{1}{x}*n=\bruch{n}{x} [/mm]

Nach y' auflösen:

[mm] y'=\bruch{n}{x}*x^n=n*x^{n-1} [/mm]

Man kann somit wohl auch noch die Quotientnregel beweisen...

LG



Bezug
                                        
Bezug
logarithmische Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:32 Di 10.12.2013
Autor: DieAcht


> Als Beispiel:
>  
> Die Potenzregel besagt:
>  
> [mm]x^n[/mm] wird abgeleitet zu [mm]n*x^{n-1}[/mm]
>  
> Wenn Du folgende Funktion logarithmierst passiert
> folgendes:
>  
> [mm]y=x^n[/mm]
>  
> [mm]ln(y)=ln(x^n)[/mm]
>  
> Links mit Kettenregel ableiten
>  
> [mm]\bruch{y'}{y}=n*ln(x)[/mm]

Sei dir aber im Klaren, dass die Gleichung so nicht mehr gilt.

>  
> Rechts mit Produktregel ableiten:
>  
> [mm]\bruch{y'}{y}=0*ln(x)+\bruch{1}{x}*n=\bruch{n}{x}[/mm]

Schneller mit Faktorregel! [mm] (\alpha*f)'=\alpha*f' [/mm]

>  
> Nach y' auflösen:
>  
> [mm]y'=\bruch{n}{x}*x^n=n*x^{n-1}[/mm]

[ok]

>  
> Man kann somit wohl auch noch die Quotientnregel
> beweisen...

Quotientenregel.

>  
> LG
>  
>  

DieAcht

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