logarithmische Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | differenzieren Sie:
[mm] y=(sinhx)^{sinhx}
[/mm]
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um das ableiten zu können, fällt mir spontan die logarithmische Ableitung ein:
mein Ansatz:
ln y = ln [mm] sinhx^{sinhx}
[/mm]
mit der Regel "ln [mm] a^{n} [/mm] = n * ln a" folgt:
ln y= sinhx * ln sinhx
subst: z= lny
da y abhängig von x, muss die linke Seite der Gleichung ebenfalls betrachtet werden:
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{dz}{dy}*\bruch{dy}{dx}= \bruch{1}{y}*y'=\bruch{y'}{y}
[/mm]
rechte Seite:
mit der Produkt- und Kettenregel folgt:
coshx*ln sinh x + sinh x * [mm] \bruch{1}{sinh x}*cosh [/mm] x =
= cosh x * ln sinh x + 1*cosh x
also insgesamt:
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] ( weil das z' entspricht) = coshx * ln sinhx + coshx
jetzt:
y'= coshx * ln sinhx + coshx*y
also:
y'= coshx * ln sinhx + [mm] coshx*(sinhx)^{sinhx}
[/mm]
y'=coshx*(ln sinhx + [mm] (sinhx)^{sinhx}
[/mm]
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Ganz am Ende unterschlägst Du bei der Umformung ein Klammerpaar:
[mm] $\bruch{y'}{y} [/mm] \ = \ [mm] \cosh [/mm] x * [mm] \ln(\sinh [/mm] x) + [mm] \cosh [/mm] x$
[mm] $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] \red{\left[}\cosh [/mm] x * [mm] \ln(\sinh [/mm] x) + [mm] \cosh [/mm] x [mm] \red{\right]}*y [/mm] \ = \ [mm] \red{\left[}\cosh [/mm] x * [mm] \ln(\sinh [/mm] x) + [mm] \cosh [/mm] x [mm] \red{\right]}*(\sinh x)^{\sin x}$
[/mm]
$y \ = \ [mm] \cosh [/mm] x [mm] *(\sinh x)^{\sin x}*[\ln(\sinh [/mm] x) +1]$
Gruß
Loddar
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