log. darstellung arkusfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mo 19.04.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | a) Nutzen Sie die Eulerformel, um sin und cos mittels exp darzustellen.
b) Zeigen Sie, dass exp die Periode [mm] 2\pi*i [/mm] hat und definieren Sie die Umkehrfunktion auf einem Teilbereich von [mm] \IC.
[/mm]
c) Ermitteln Sie arccos(z) und arcsin(z) mit dem Logarithmus aus b) |
So, wie ich die Aufgabe c) verstehe, geht es darum die logarithmische Darstellung der beiden Arkusfunktionen herzuleiten...
Ich krieg das aber irgendwie nicht hin...
Die sind ja ziemlich komplex und unschön...
Da muss ich sicher die in a) ermittelten Darstellungen verwenden
[mm] sin(z)=\bruch{exp(i*z)-exp(-i*z)}{2*i}
[/mm]
[mm] cos(z)=\bruch{exp(i*z)+exp(-i*z)}{2}
[/mm]
Aber irgendwie kann ich nicht wirklich erkennen, wie man damit auf
[mm] arcos(z)=-i*ln(z+i*\wurzel{(1-z^{2})}) [/mm] und
[mm] arcsin(z)=-i*ln(i*z+\wurzel{(1-z^{2})}) [/mm] kommen kann...
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Hallo valoo,
> a) Nutzen Sie die Eulerformel, um sin und cos mittels exp
> darzustellen.
> b) Zeigen Sie, dass exp die Periode [mm]2\pi*i[/mm] hat und
> definieren Sie die Umkehrfunktion auf einem Teilbereich von
> [mm]\IC.[/mm]
> c) Ermitteln Sie arccos(z) und arcsin(z) mit dem
> Logarithmus aus b)
> So, wie ich die Aufgabe c) verstehe, geht es darum die
> logarithmische Darstellung der beiden Arkusfunktionen
> herzuleiten...
> Ich krieg das aber irgendwie nicht hin...
> Die sind ja ziemlich komplex und unschön...
> Da muss ich sicher die in a) ermittelten Darstellungen
> verwenden
> [mm]sin(z)=\bruch{exp(i*z)-exp(-i*z)}{2*i}[/mm]
> [mm]cos(z)=\bruch{exp(i*z)+exp(-i*z)}{2}[/mm]
>
> Aber irgendwie kann ich nicht wirklich erkennen, wie man
> damit auf
> [mm]arcos(z)=-i*ln(z+i*\wurzel{(1-z^{2})})[/mm] und
> [mm]arcsin(z)=-i*ln(i*z+\wurzel{(1-z^{2})})[/mm] kommen kann...
Nun, die Idee ist richtig.
Es läuft darauf hinaus, eine quadratische Gleichung zu bekommen ...
Ein Fall:
[mm] $\cos(z)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw e^{iz}-2\cos(z)+e^{-iz}=0$
[/mm]
Nun multipliziere mit [mm] $e^{iz}$ [/mm] und du bekommst eine quadrat. Gleichung.
Hier dann quadratisch ergänzen, nach z umstellen und am Ende [mm] $z:=\arccos(z)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 19.04.2010 | | Autor: | valoo |
> Nun, die Idee ist richtig.
>
> Es läuft darauf hinaus, eine quadratische Gleichung zu
> bekommen ...
>
> Ein Fall:
>
> [mm]\cos(z)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{iz}-2\cos(z)+e^{-iz}=0[/mm]
>
> Nun multipliziere mit [mm]e^{iz}[/mm] und du bekommst eine quadrat.
> Gleichung.
>
> Hier dann quadratisch ergänzen, nach z umstellen und am
> Ende [mm]z:=\arccos(z)[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Wenn ich richtig verstehe, was du meinst, dann kommt man ja auf
[mm] exp^{2}(i*z)-2*cos(z)*exp(i*z)+1=0
[/mm]
[mm] =exp^{2}(i*z)-2*cos(z)*exp(i*z)+cos^{2}(z)+sin^{2}(z)
[/mm]
[mm] \gdw (exp(i*z)-cos(z))^{2}=-sin^{2}(z)
[/mm]
Und jetzt nach z umformen? Wie soll ich das denn anstellen?
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Hallo nochmal,
> > Nun, die Idee ist richtig.
> >
> > Es läuft darauf hinaus, eine quadratische Gleichung zu
> > bekommen ...
> >
> > Ein Fall:
> >
> > [mm]\cos(z)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)[/mm]
> >
> > [mm]\gdw e^{iz}-2\cos(z)+e^{-iz}=0[/mm]
> >
> > Nun multipliziere mit [mm]e^{iz}[/mm] und du bekommst eine quadrat.
> > Gleichung.
> >
> > Hier dann quadratisch ergänzen, nach z umstellen und am
> > Ende [mm]z:=\arccos(z)[/mm]
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Wenn ich richtig verstehe, was du meinst, dann kommt man ja
> auf
>
> [mm]exp^{2}(i*z)-2*cos(z)*exp(i*z)+1=0[/mm]
Hier quadratisch ergänzen! (Ich mache mir im weiten mal keine Gedanken zu Definitionsbereichen und anderen "Kleinigkeiten"  Das kannst du machen)
[mm] $\gdw \left(e^{iz}-\cos(z)\right)^2-\cos^2(z)+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(e^{iz}-\cos(z)\right)^2=\cos^2(z)-1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{iz}-\cos(z)=\pm\sqrt{\cos^2(z)-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow iz=\ln\left(\cos(z)\pm\sqrt{\cos^2(z)-1}\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z=-i\cdot{}\ln\left(\cos(z)\pm\sqrt{\cos^2(z)-1}\right)=-i\cdot{}\ln\left(\cos(z)\pm\sqrt{(-1)\cdot{}(1-\cos^2(z))}\right)=-i\cdot{}\ln\left(\cos(z)\pm i\cdot{}\sqrt{1-\cos^2(z)}\right)$
[/mm]
Mit [mm] $z:=\arccos(z)$ [/mm] dann
[mm] $\arccos(z)=-i\cdot{}\ln\left(z\pm i\cdot{}\sqrt{1-z^2}\right)$
[/mm]
> [mm]=exp^{2}(i*z)-2*cos(z)*exp(i*z)+cos^{2}(z)+sin^{2}(z)[/mm]
> [mm]\gdw (exp(i*z)-cos(z))^{2}=-sin^{2}(z)[/mm]
>
> Und jetzt nach z umformen? Wie soll ich das denn anstellen?
Gruß
schachuzipus
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