lösen einer gleichung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | zeigen sie ,dass die gleichung
x ^{6} =1 - x
in [mm] \IR+ [/mm] genau eine lösung besitzt. |
ich habe per induktion und widerspruch gezeigt,dass
-1<x<1 sein muss,aber weiter komme ich nicht(noch nicht mal durch probieren)
nun kann man durch stetigkeitsuntersuchungen zu einem ergebnis kommen,allerdings weiss ich nicht wie.kann mir jemand einen stubs geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 Di 12.12.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Pumpernickel,
ich bin etwas verwirrt, weil du geschrieben hast, dass -1<x<1 sein muss. Es sind doch nur $x> 0 $ erlaubt, oder? In der Aufgabenstellung steht jedenfalls "...in [mm] \IR^+ [/mm] genau eine Lsg besitzt.".
Ich weiss natürlich nicht, was du alles verwenden darfst, aber du kannst ganz leicht so argumentieren:
Betrachte die Funktion [mm] f(x)=x^6+x-1 [/mm] für $x>0$. Die Nullstellen von f sind die Lösungen der Gleichung. Zeige also, dass f genau eine Nullstelle in [mm] \IR^+ [/mm] hat:
Für (zum Beispiel) [mm] x_1=0,1 [/mm] gilt [mm] f(x_1)<0 [/mm] und für (zum Bsp) [mm] x_2=1, [/mm] gilt [mm] f(x_2)>0.
[/mm]
Da f stetig ist (auf dem Intervall [mm] $[x_1;x_2]$), [/mm] nimmt es alle Zwischenwerte zwischen [mm] f(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] an. Also auch f(x)=0 für (mindestens) ein gewisses $0 < [mm] x_1 [/mm] < x < [mm] x_2$. [/mm] Diesen Satz müsstet ihr in der Vorlesung gehabt haben. Wahrscheinlich unter dem Namen ![[]](/images/popup.gif) Zwischenwertsatz
Es fehlt noch, dass es genau eine Nullstelle ist und nicht mehrere. Ich hoffe, dass du folgendes verwenden darfst:
Die Ableitung von f,
[mm] f'(x)=6x^5+1 [/mm]
ist echt grösser Null, für $x>0$, also ist f streng monoton steigend, d.h. jeder Wert wird nur einmal angenommen.
Und das wär's dann schon.
L G walde
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oh vielen dank walde,
hast ja recht ,mit meinem x stimmte das nicht,ich habe [mm] \IR+ [/mm] im definitionsbereich verstanden,obwohl ja die lösung im [mm] \IR+ [/mm] sein soll.
den zwischenwertsatz kenne ich ,allerdings knallt der professor einem so viele sätze an den latz, dass ich die herrlichkeit des zwischenwertsatzes nicht
erkannte.nochmals vielen/großen dank.
ps: ableiten dürfen wir nicht ,da diffbare funktionen erst später kommen sollen,aber vielleicht kann ich die funktion als folge interpretieren und zeigen,dass
|a(n+1):a(n)|>1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Di 12.12.2006 | | Autor: | Walde |
Gern geschehen. Ich weiss, in den Vorlesungen geht es immer so schnell, da kann man schonmal den Überblick verlieren.
Zur Monotonie:
Es läuft quasi wie bei den Folgen, aber das darfst du so nicht schreiben. Es ist halt keine Folge. Bei Folgen könntest du übrigens anstelle von [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}>1, [/mm] auch [mm] a_{n}
Zeigen musst du:
Aus $ [mm] x_1
Sei also 0 < [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2:
[/mm]
also ist auch [mm] x_1^6
[mm] $f(x_1)=x_1^6+x_1-1 [/mm] < [mm] x_2^6+x_2-1=f(x_2)$
[/mm]
und fertig.
LG walde
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