lösen einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Boggyman |
Hallo
habe gerad mit dem Thema DGL's angefangen und hab schon ein problem. Ist eigentlich ganz einfach nur ich komm wieder mal nich auf die antwort
also ich hab die inhomogene DGL bereits in eine homogene gewandelt (was nicht sehr schwer ist ;o)
x*y'-y=0
umstellen und dann mit u=y/x substituieren
dann komm ich auf [mm] \integral_{}^{}{ du}=\integral_{}^{}{1/x dx}
[/mm]
dann integrieren und als ergebniss hab ich y=k*x*ln(x)
k ist meine intergrationskonstante
laut lösung soll aber y=K*x rauskommen
kann mir einer sagen was ich falsch mache
danke im vorraus
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Hallo Boggyman!
Warum hier substituieren? Umformen führt doch auf folgende Gleichung:
[mm] $\bruch{y'}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $\blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}\bruch{dx}{x}$
[/mm]
usw.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Boggyman |
ok danke
eigentlcih müsste durch substitution das selbe rauskommen aber egal mach ichs halt so
DANKE nochma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Di 21.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Guten Morgen Boggyman!
Es klappt (natürlich) auch mit Deiner gewählten Substitution ... fiel mir aber erst heute Nacht ein, wie!
Allerdings hast Du wohl $du_$ falsch ermittelt. Denn hierfür musst Du die  Quotientenregel anwenden:
$u \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'*x-y*1}{x^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(\red{y'*x-y})*dx [/mm] \ = \ [mm] x^2*du$
[/mm]
Gemäß DGL gilt ja: [mm] $\red{y'*x-y} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\Rightarrow$ $x^2 [/mm] * du \ = \ [mm] \red{0} [/mm] * dx$
[mm] $\gdw$ $\blue{\integral}{1 \ du} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{0 \ dx}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $u \ = \ c$
Und die Re-Substitution führt dann zur angegebenen Lösung.
Gruß vom
Roadrunner
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