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Forum "Schul-Analysis" - ln-Funktion Ableitung
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ln-Funktion Ableitung : Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Fr 11.03.2005
Autor: Kimi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hey,
habe eine kurze Frage:
Und zwar habe ich eine ln-Funktion zum ableiten,
die Ableitungsregeln kenne ich, nur leider weiß ich nicht welche ich ihr anwenden soll. Qutientenregel oder Produktregel?
  ln [mm] \left( \bruch{x}{1+x} \right) [/mm]
Vielen Dank!
Gruß KImi
        
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ln-Funktion Ableitung : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Fr 11.03.2005
Autor: b.BeautY

du hast eine funktion ln(g(x))=f(x).

dann ist die ableitung f'(x)=g'(x)/g(x)

Um g(x) abzuleiten musst du in diesem fall die quotientenregel anwenden.
Bezug
        
Bezug
ln-Funktion Ableitung : Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Fr 11.03.2005
Autor: Kimi

Wäre lieb, wenn mir auch noch einer sagen könnte, wie die dritte Ableitung von ln ist!
Die zweite ist doch -{1 [mm] \br x^2} [/mm] oder??,
ist dann die dritte - 2x ??
Bezug
                
Bezug
ln-Funktion Ableitung : antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Fr 11.03.2005
Autor: b.BeautY

ich steig da nicht ganz durch was du da geschrieben hast aber die antwort müsste sein:

f'(x)=1/x+x²
Bezug
                
Bezug
ln-Funktion Ableitung : ?? Verwirrung ??
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Fr 11.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Kimi!

Hier ist wohl etwas mit den verschiedenen Revisionen Deiner Frage und der Antwort von b.beautY schief gelaufen.


Deine ursprüngliche Funktion $f(x) \ = \ [mm] \ln\left( \wurzel{x} \right)$ [/mm] kannst Du wieder zunächst mit einem MBLogarithmusgesetz vereinfachen:
[mm] $\log_b \left( a^m \right) [/mm] \ = \ m * [mm] \log_b(a)$ [/mm]


$f(x) \ = \ [mm] \ln\left( \wurzel{x} \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left( x^{\bruch{1}{2}} \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \ln\left( x \right)$ [/mm]

Nun ist Ableiten wieder einfach ...


Die 3. Ableitung der [mm] $\ln$-Funktion [/mm] erhältst Du schnell über die MBPotenzregeln:

$y \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm]

$y' \ = \ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{-1}$ [/mm]

$y'' \ = \ (-1) * [mm] x^{-2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{x^2}$ [/mm]

$y''' \ = \ (-1) * (-2) * [mm] x^{-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x^3}$ [/mm]

usw.


Gruß
Loddar

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Bezug
ln-Funktion Ableitung : Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Fr 11.03.2005
Autor: Kimi

Muss ich dann daruf die Qutientenregel anwenden, oder ist mein 1/2 die Konstante??
Vielen Dank!
Gruß
Kimi
Bezug
                                
Bezug
ln-Funktion Ableitung : Konstanter Faktor
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Fr 11.03.2005
Autor: Loddar

Hello again ...


> Muss ich dann daruf die Qutientenregel anwenden, oder ist
> mein 1/2 die Konstante??

Dieser Bruch [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ 0,5$ ist ein konstanter Faktor!

Das macht ja das Ableiten hier so leicht ;-) ...


Gruß
Loddar

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Bezug
ln-Funktion Ableitung : Alternative: Logarithmusgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Fr 11.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Kimi,

für Deine genannte Funktion gibt es einen Alternativ-Weg, um die MBQuotientenregel zu umgehen.

Man wendet vor dem Differenzieren einfach eines der MBLogarithmusgesetze an:

[mm] $\log_b \left(\bruch{x}{y} \right) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x) [/mm] - [mm] \log_b(y)$ [/mm]


Für Deine Funktion heißt das:
$ [mm] \ln \left( \bruch{x}{1+x} \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x) [/mm] - [mm] \ln(1+x)$ [/mm]

Und das läßt sich doch um einiges leichter ableiten, oder?


Gruß
Loddar

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ln-Funktion Ableitung : Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Fr 11.03.2005
Autor: Kimi

Aber wenn ich die erste Ableitung mache, dann kommt da null raus??
{1 [mm] \br [/mm] x}*1-{1 [mm] \br [/mm] x}*1


Ich glaube ich sehe momentan den Wald vor lauter Bäumen nicht!!
Hilfe!!.-)
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ln-Funktion Ableitung : Summenweise ableiten ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Fr 11.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Kimi!

> Aber wenn ich die erste Ableitung mache, dann kommt da null
> raus??
> {1 [mm]\br[/mm] x}*1-{1 [mm]\br[/mm] x}*1

[notok] Du mußt doch nach meiner Umformung die beiden Logarithmen summenweise ableiten:

$f(x) \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{x}{1+x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x) [/mm] - [mm] \ln(1+x)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
$f'(x) \ = \ [mm] \left[ \ln(x) \right]' [/mm] \ - \ [mm] \left[ \ln(1+x) \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+x}$ [/mm]


Klar(er) nun ??

Gruß
Loddar


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