linksseitiger grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 07.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin an alle !
Habe folgende Aussage zu beweisen, leider schon zu morgen und mir fehlt
eine Idee bzw. um es genauer auszudrücken: Ich weiß nicht, was ich als Voraussetzung und was als Zielpunkt annehmen soll. Gleiches gilt demnach auch für den Rückweg. Bin für jede Meldung dankbar. Nun zur Aufgabenstellung:
Eine Funktion g:[a,b) [mm] \to \IR [/mm] besitzt genau dann einen linsseitigen Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\b} [/mm] =:A [mm] \in \IR [/mm] , falls es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt mit:
[mm] x_{1} [/mm] , x{2} [mm] \in [/mm] (b- [mm] \delta [/mm] , b) [mm] \Rightarrow |g(x_{1})-g(x_{2})|< \varepsilon
[/mm]
Zwerg:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo zwerg!
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Wenn $c:= [mm] \lim\limits_{x \uparrow b} [/mm] g(x)$ existiert, dann gibt es für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b)$ mit [mm] $\vert [/mm] x-b [mm] \vert [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $\vert [/mm] g(x) - c [mm] \vert [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] $.
Daraus folgt für alle [mm] $x_1,x_2 \in (b-\delta,b)$ [/mm] mit Hilfe der Dreiecksungleichung:
[mm] $\vert g(x_1) [/mm] - [mm] g(x_2) \vert \le \vert g(x_1) [/mm] - c [mm] \vert [/mm] + [mm] \vert g(x_2) [/mm] - c [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Gibt es umgekehrt für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] >0$ mit
[mm] $\vert g(x_1) [/mm] - [mm] g(x_2) \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle [mm] $x_1,x_2 \in (b-\delta,b)$ [/mm] und ist [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine von unten gegen $b$ konvergente Folge in $[a,b)$, dann ist [mm] $(g(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $\IR$. [/mm] Da [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist, existiert der Grenzwert.
Liebe Grüße
Julius
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