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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 14.08.2008 | | Autor: | Flyfly |
| Aufgabe | Ich habe Probleme mit der Aufgabe c, hier die komplette Lösung
Es seien die beiden Differentialgleichungen gegeben
[mm] C*\dot{x}(t) [/mm] = u(t) - [mm] \sqrt{y(t)}*x^2(t),
[/mm]
[mm] D*\dot{y}(t) [/mm] = x(t)-y(t)
Dabei entspricht u(t) dem Eingangssignal und y(t) dem Ausgangssignal.
a) Berechnen Sie die Werte aller zeitabhängigen Größen für den stationären Arbeitspunkt, der sich für ein konstantes Eingangssignal
u(t) = [mm] u_{AP} [/mm] = 32 = const
einstellt
Lösung:
Die zeitlichen Ableitungen sind bei einem konstanten Arbeitspunkt alle Null
[mm] \dot{x}(t) [/mm] = [mm] \dot{y}(t) [/mm] = 0
[mm] \gdw u_{AP} [/mm] = [mm] \sqrt{y_{AP}}*x^2_{AP} [/mm] und [mm] x_{AP}=y_{AP}
[/mm]
Für [mm] u_{AP} [/mm] = 32 ergibt sich
[mm] y_{AP} [/mm] = 4 sowie [mm] x_{AP} [/mm] = 4
b) Linearisieren Sie die Differentialgleichungen.
Linearisierte Gleichungen für Kleinsignalverhalten:
[mm] $C*\Delta \dot{x}(t) [/mm] = [mm] \Delta [/mm] u(t) - [mm] (\frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{y(t)})*\Delta [/mm] x(t)) + [mm] \frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{y(t)})*\Delta [/mm] y(t)) [mm] |_{y=y_{AP}, x=x_{AP}}$
[/mm]
und
[mm] $D*\Delta \dot{y} [/mm] (t) = [mm] \Delta [/mm] x(t) - [mm] \Delta [/mm] y(t)$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $C*\Delta \dot{x}(t) [/mm] = [mm] \Delta [/mm] u(t) - 2 * [mm] x_{AP} [/mm] * [mm] \sqrt{y_{AP}}*\Delta [/mm] x(t) - [mm] \frac{1}{2*\sqrt{y_{AP}}}*x_{AP}^2 *\Delta [/mm] y(t)$
und
[mm] $D*\Delta \dot{y}(t) [/mm] = [mm] \Delta [/mm] x(t) - [mm] \Delta [/mm] y(t)$
c) es gelte C=D=1. Geben Sie das linearisierte System als Übertragungsfunktion an.
Lösung: [mm] $\Delta \dot{x} [/mm] = -16 [mm] \Delta [/mm] x - [mm] 4\Delta [/mm] y + [mm] \Delta [/mm] u$
[mm] $s\Delta [/mm] x = -16 [mm] \Delta [/mm] x - 4 [mm] \Delta [/mm] y + [mm] \Delta [/mm] u$
Jetzt verstehe ich folgenden Schritt nicht
[mm] $\Rightarrow [/mm] s [mm] \Delta [/mm] x = [mm] \frac{-4\Delta y}{s+16} [/mm] + [mm] \frac{\Delta u }{s+16}$
[/mm]
Klar:
[mm] $\Delta \dot{y} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] x - [mm] \Delta [/mm] y$
$s [mm] \Delta [/mm] y ) [mm] \Delta [/mm] x - [mm] \Delta [/mm] y$
Unklar:
[mm] $(s+\frac{4}{s+16}+1)\Delta [/mm] y = - [mm] \frac{1}{s+16}\Delta [/mm] u$
Wie kommt man auf die obere Zeile?
Der Vollständigkeitshalber noch der Rest der Lösung
[mm] $(s^2+17s+20)\Delta [/mm] y = - [mm] \Delta [/mm] u$
$G(s) = [mm] \frac{\Delta y}{\Delta u} [/mm] = - [mm] \frac{1}{s^2+17s+20}$
[/mm]
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Hallo.
Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe c helfen und mir sagen, wie man auf die Gleichungen kommt? Irgendwie muss man da wohl etwas einsetzen, aber ich blicke es nicht.
Grüße,
FlyFly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 14.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe Probleme mit der Aufgabe c, hier die komplette
> Lösung
>
> Es seien die beiden Differentialgleichungen gegeben
>
> [mm]C*\dot{x}(t)[/mm] = u(t) - [mm]\sqrt{y(t)}*x^2(t),[/mm]
>
> [mm]D*\dot{y}(t)[/mm] = x(t)-y(t)
>
> Dabei entspricht u(t) dem Eingangssignal und y(t) dem
> Ausgangssignal.
>
> a) Berechnen Sie die Werte aller zeitabhängigen Größen für
> den stationären Arbeitspunkt, der sich für ein konstantes
> Eingangssignal
> u(t) = [mm]u_{AP}[/mm] = 32 = const
>
> einstellt
>
> Lösung:
> Die zeitlichen Ableitungen sind bei einem konstanten
> Arbeitspunkt alle Null
>
> [mm]\dot{x}(t)[/mm] = [mm]\dot{y}(t)[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw u_{AP}[/mm] = [mm]\sqrt{y_{AP}}*x^2_{AP}[/mm] und [mm]x_{AP}=y_{AP}[/mm]
>
> Für [mm]u_{AP}[/mm] = 32 ergibt sich
>
> [mm]y_{AP}[/mm] = 4 sowie [mm]x_{AP}[/mm] = 4
>
>
> b) Linearisieren Sie die Differentialgleichungen.
>
> Linearisierte Gleichungen für Kleinsignalverhalten:
>
> [mm]C*\Delta \dot{x}(t) = \Delta u(t) - (\frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{y(t)})*\Delta x(t)) + \frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{y(t)})*\Delta y(t)) |_{y=y_{AP}, x=x_{AP}}[/mm]
>
> und
> [mm]D*\Delta \dot{y} (t) = \Delta x(t) - \Delta y(t)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]C*\Delta \dot{x}(t) = \Delta u(t) - 2 * x_{AP} * \sqrt{y_{AP}}*\Delta x(t) - \frac{1}{2*\sqrt{y_{AP}}}*x_{AP}^2 *\Delta y(t)[/mm]
>
> und
> [mm]D*\Delta \dot{y}(t) = \Delta x(t) - \Delta y(t)[/mm]
>
> c) es gelte C=D=1. Geben Sie das linearisierte System als
> Übertragungsfunktion an.
>
> Lösung: [mm]\Delta \dot{x} = -16 \Delta x - 4\Delta y + \Delta u[/mm]
>
> [mm]s\Delta x = -16 \Delta x - 4 \Delta y + \Delta u[/mm]
>
> Jetzt verstehe ich folgenden Schritt nicht
>
> [mm]\Rightarrow s \Delta x = \frac{-4\Delta y}{s+16} + \frac{\Delta u }{s+16}[/mm]
Da ist auch das s auf der linken Seite zuviel. Du bringst [mm] $\Delta [/mm] x$ auf die linke Seite und klammerst aus:
[mm]s\Delta x = -16 \Delta x - 4 \Delta y + \Delta u[/mm]
[mm]s\Delta x + 16 \Delta x = -4 \Delta y + \Delta u[/mm]
[mm]\Delta x = \bruch{1}{s+16} (-4 \Delta y + \Delta u)[/mm]
> Klar:
> [mm]\Delta \dot{y} = \Delta x - \Delta y[/mm]
>
> [mm]s \Delta y ) \Delta x - \Delta y[/mm]
Daraus folgt: [mm] (s+1) \Delta y = \Delta x[/mm]
>
> Unklar:
>
> [mm](s+\frac{4}{s+16}+1)\Delta y = - \frac{1}{s+16}\Delta u[/mm]
Wie oben: setze [mm] $\Delta [/mm] x$ ein und klammere aus:
[mm] (s+1) \Delta y = \frac{-4\Delta y}{s+16} + \frac{\Delta u }{s+16} [/mm]
[mm] (s + \bruch{4}{s+16} +1) \Delta y = \bruch{1}{s+16} \Delta u [/mm]
Ich bekomme allerdings rechts ein positives Vorzeichen heraus. Wer hat sich verrechnet?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Flyfly |
Hallo rainerS.
Danke dir für deine ausführliche Erklärung. Das Prinzip habe ich jetzt verstanden und bin sehr glücklich, danke!
> Ich bekomme allerdings rechts ein positives Vorzeichen
> heraus. Wer hat sich verrechnet?
Also direkt am Monitor kann ich bei dir auch keinen Fehler entdecken. Ist mir auch egal, da ich jetzt das Prinzip kapiert habe. Danke, ich hoffe du bist deswegen nicht allzuböse.
Grüße,
Flyfly
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