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| Aufgabe | Guten Vormittag,
ich habe eine schnelle frage zu diesem DGL-System:
y' = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 }*y
[/mm]
Ich soll ein reelles Fundamentalsystem angeben. |
Nun das Vorgehen ist relativ klar bis auf einen Punkt. Was mache ich mit komplexen Eigenwerten, Eigenvektoren.
In meinem Skript steht in so einem Fall tue man folgendes:
Ist [mm] \lambda_j [/mm] ein komplexer Eigenwert und es gilt [mm] \lambda_k [/mm] = [mm] \overline{\lambda_j} [/mm] wähle y(t) := [mm] Re(e^{\lambda_j*t}*b_j) [/mm] und y(t) := [mm] Im(e^{\lambda_j*t}*b_j) [/mm] als Elemente des Fundamentalsystems.
Die komplexen Eigenwerte und Eigenräume hier sind:
komplexe Eigenwerte: { 1-i ; 1+i }
Eigenräume:
zum Eigenwert 1-i:
[mm] \vektor{2i \\ 1+i \\ 1}
[/mm]
zum Eigenwert 1+i:
[mm] \vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}
[/mm]
Kann mir jetzt einer erklären, wie man jetzt mit obiger Formel nun umgeht?
Mein Ansatz für den Realteil:
[mm] Re(e^{(1+i)*t}*\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}) [/mm] =
[mm] Re(e^{t+it}*\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}) [/mm] =
[mm] Re(e^{t}*e^{it}*\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}) [/mm] =
[mm] Re(e^{t}*(cos(t)+i*sin(t))*\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}) [/mm] =
[mm] Re(e^{t}*(cos(t)*\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}+i*sin(t)*\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}))
[/mm]
Ich weiß nicht, wie man an den Realteil kommt :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 13.08.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
$ e^{t}(\cdot{}(cos(t)+i\cdot{}sin(t))\cdot{}\vektor{-2i \\ 1-i \\ 1}) $ = e^{t}*\vektor{-2i*cost+2sint \\ cost+2sint+i*(-cost+sint \\ cost+isint})=
e^{t}*\vektor{2sint \\ cost+2sint \\ cost})+i*e^{t}*\vektor{-2cost\\sint-cost\\sint)
kannst du jetzt den Realteil finden und das Ergebnis dann als \vec{a}*sint+\vec{b}*cost schreiben?
es geht auch indem du direkt die vektoren in ihrer Re und Im aufteilst.
Gruss leduart
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