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Hi :D
Bin mal wieder beim durchgucken meiner Aufgaben auf ein weiteres großes Problem gestossen :(
Ich weiss zwar, wie ich Differentialgleichungen 1ter oder 2ter Ordnung zu lösen habe, aber so ein Gleichungsystem sehe ich zum ersten mal.
Wäre nett, wenn mir einer erklären könnte, wie so etwas zu lösen ist
[mm] y_{1}^{'} [/mm] = [mm] 2y_{2} [/mm] - [mm] y_{3} [/mm]
[mm] y_{2}^{'} [/mm] = [mm] 2y_{1} [/mm] - [mm] 3y_{2} [/mm] + [mm] 2y_{3} [/mm]
[mm] y_{3}^{'} [/mm] = [mm] -y_{1} [/mm] + [mm] 2y_{2}
[/mm]
a) Bestimmen sie die allgemeine Lösung
b) bestimmen sie die Lösung aus Teil a)
mit [mm] y_{1}(0) [/mm] = [mm] y_{2}(0)=y_{3}(0)=1
[/mm]
ich komm erst garnicht auf eine der funktionen [mm] y_{1}^{'}, y_{2}^{'} [/mm] oder [mm] y_{3}^{'} [/mm] um hinterher einzusetzten und die anderen Funktionen zu bekommen.
Danke fuer jede Hilfe....cu
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Sa 16.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hi :D
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> Bin mal wieder beim durchgucken meiner Aufgaben auf ein
> weiteres großes Problem gestossen :(
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> Ich weiss zwar, wie ich Differentialgleichungen 1ter oder
> 2ter Ordnung zu lösen habe, aber so ein Gleichungsystem
> sehe ich zum ersten mal.
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> Wäre nett, wenn mir einer erklären könnte, wie so etwas zu
> lösen ist
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> [mm]y_{1}^{'}[/mm] = [mm]2y_{2}[/mm] - [mm]y_{3}[/mm]
> [mm]y_{2}^{'}[/mm] = [mm]2y_{1}[/mm] - [mm]3y_{2}[/mm] + [mm]2y_{3}[/mm]
> [mm]y_{3}^{'}[/mm] = [mm]-y_{1}[/mm] + [mm]2y_{2}[/mm]
[m]y'=A*y[/m] mit [m]y=(y_1,y_2,y_3)^t[/m] und [m]A= \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 }[/m]. Da habt ihr sicher ein Lösungsverfahren führ ... (Exponentialfunktion einer Matrix?!?)
SEcki
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> > Hi :D
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> > Bin mal wieder beim durchgucken meiner Aufgaben auf ein
> > weiteres großes Problem gestossen :(
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> > Ich weiss zwar, wie ich Differentialgleichungen 1ter oder
> > 2ter Ordnung zu lösen habe, aber so ein Gleichungsystem
> > sehe ich zum ersten mal.
> >
> > Wäre nett, wenn mir einer erklären könnte, wie so etwas zu
> > lösen ist
> >
> > [mm]y_{1}^{'}[/mm] = [mm]2y_{2}[/mm] - [mm]y_{3}[/mm]
> > [mm]y_{2}^{'}[/mm] = [mm]2y_{1}[/mm] - [mm]3y_{2}[/mm] + [mm]2y_{3}[/mm]
> > [mm]y_{3}^{'}[/mm] = [mm]-y_{1}[/mm] + [mm]2y_{2}[/mm]
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> [m]y'=A*y[/m] mit [m]y=(y_1,y_2,y_3)^t[/m] und [m]A= \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 }[/m].
> Da habt ihr sicher ein Lösungsverfahren führ ...
> (Exponentialfunktion einer Matrix?!?)
>
> SEcki
hmm, also ein Lösungsverfahren (Exponentialfunktion einer Matrix)
kenn ich nicht,
kann man dass nicht einfach mit dem Gauss-Algorithmus lösen, wie ein
LGS ????
Danke.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> hmm, also ein Lösungsverfahren (Exponentialfunktion einer
> Matrix)
> kenn ich nicht,
Hmm, aber das wäre da sehr perfekt ... vielleicht hat ein anderes Matheraum-Mitglied einen Link? Google mal danach, oder schau in ein DGL-Buch (in denen ist das immer beschreiben, auch im Königsberger, Ana II, whrschl. noch in vielen mehr.)
> kann man dass nicht einfach mit dem Gauss-Algorithmus
> lösen, wie ein
> LGS ????
Ich glaube eher nicht - nach was willst du denn da auflösen?Du musst doch eine DGL lösen, die in einander verzahnt ist. (Falls es aber geht, würde mich das schon interessieren.)
SEcki
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Hallo trinkMilch,
> > [m]y'=A*y[/m] mit [m]y=(y_1,y_2,y_3)^t[/m] und [m]A= \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 }[/m].
das ist immer die gleiche Vorgehensweise. Zunächst ermittle die Eigenwerte der Matrix A, durch lösen von [mm]\det(\;A\;-\;\lambda\;I)\;=\;0[/mm].
Danach ermittelst Du die zugehörigen Eigenvektoren [mm]e_{i}[/mm] zum jeweiligen Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm], durch lösen des Gleichungssytems [mm](A\;-\lambda_{i}\;I)\;e_{i}\;=\;0[/mm].
Diese zusammen ergeben dann die Transformationsmatrix C, welche das obige DGL-System in ein einfacheres DGL-System überführt. Die Transformationsmatrix baut sich aus allen Eigenvektoren auf.
Die Transformation lautet [mm]y\;=\;C\;z[/mm]. Hieraus folgt nun das neue DGL-System [mm]z^{'}\;=\;(C^{-1}\;A\;C)\;z[/mm], welches einfacher zu lösen ist. Durch Anwendung der Rücktransformation erhältst Du die Lösungen des ursprünglichen Systems.
Gruß
MathePower
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