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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Do 07.07.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Finden Sie die reellen Lösungen von [mm] y'=\pmat{1&-3\\3&1}y. [/mm] |
Hallo,
ich bezeichne die Matrix mit A. Die Eigenwerte von A sind [mm] \lambda_1=1+3i, \lambda_2=1-3i.
[/mm]
Die Aufgabe soll mit der Spektralformel gelöst werden:
[mm] f(A)=f(\lambda_1)z_1+f(\lambda_2)z_2
[/mm]
Es sind [mm] z_1,z_2 [/mm] unabhängig von f, also setze ich Polynome [mm] p_1,p_2 [/mm] für f ein:
[mm] p_1(z)=z-\lambda_1 \Rightarrow p_1(A)=A-\lambda_1*I\stackrel{!}{=}p_1(\lambda_1)z_1+p_1(\lambda_2)z_2=(\lambda_2-\lambda_1)z_2=-6i*z_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_2=\frac{\lambda_1 I-A}{6i}
[/mm]
[mm] p_2(z)=z-\lambda_2 \Rightarrow p_2(A)=A-\lambda_2*I\stackrel{!}{=}p_2(\lambda_1)z_1+p_2(\lambda_2)z_2=(\lambda_1-\lambda_2)z_2=6i*z_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=\frac{A-\lambda_2 I}{6i}
[/mm]
Einsetzen in die Spektralformel [mm] (e^{xA} [/mm] ist ein Fundamentalsystem):
[mm] e^{xA}=e^{\lambda_1 x}\frac{A-\lambda_2 I}{6i}+e^{\lambda_2 x}\frac{\lambda_1 I-A}{6i}=e^{\lambda_1 x}\frac{A-(1-3i) I}{6i}+e^{\lambda_2 x}\frac{(1+3i) I-A}{6i}
[/mm]
Sortieren nach Potenzen:
[mm] \ldots=\frac{A}{3}\frac{e^{\lambda_1 x}-e^{\lambda_2 x}}{2i}+\frac{I}{6i}\left(e^{\lambda_2 x}-e^{\lambda_1 x}\right)+\frac{I}{2}\left(e^{\lambda_2 x}+e^{\lambda_1 x}\right)=\frac{A}{3}e^x\sin(3x)-\frac{I}{3}e^x\sin(3x)+Ie^x\cos(3x)=:\Phi(x)
[/mm]
Damit ist [mm] \Phi(x) [/mm] ein Fundamentalsystem des linearen DGL-Systems.
Ich bin mir zwar ziemlich sicher. Könnte bitte trotzdem jemand drüber schauen, ob alles stimmt?
Danke!
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 09.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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