lineare unabhängigkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f:V\rightarrow [/mm] V Endomorphismus, [mm] v_1 [/mm] Eigenvektor zu f zum EW [mm] \lambda_1, v_2 [/mm] EV zu f zum Eigenwert [mm] \lambda_2.
[/mm]
Behauptung: Ist [mm] v_1+v_2 [/mm] Eigenvektor zu [mm] f\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2. [/mm] |
Hallo,
im Grunde ist der Beweis hierzu einfach, aber bei mir ergibt sich eine kleine ungereimtheit, der ich auf den Zahn fühlen will.
Es gelten alle Voraussetzungen aus der Aufgabenstellung.
Also Ang. [mm] v_1+v_2 [/mm] sei ein EV zu f zum EW [mm] \mu. [/mm] Dann gilt [mm] v_1+v_2\neq [/mm] 0.
Es gilt: [mm] f(v_1+v_2)=\mu v_1+\mu v_2 [/mm]
Weiterhin, da f linear: [mm] f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2.
[/mm]
Dann: [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2=\mu v_1+\mu v_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_1(\mu-\lambda_1)+v_2(\mu-\lambda_2)=0.
[/mm]
Jetzt: Und hier kommt der Punkt, den ich meine:
Ich sage jetzt, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] lin. unabh. sind, weil EV zu verschiedenen Eigenwerten, also
[mm] (\mu-\lambda_1)=0=\mu-\lambda_2, [/mm] es folgt die Behauptung.
Das heißt doch aber, um auf die finale Schlussfolgerung zu kommen, sage ich, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgrund verschiedener Eigenwerte linear unabhängig sind. So daraus folgere ich dann quasi, dass meine Eigenwerte aber doch gleich sind. Dann stimmt doch der Schritt davor nicht, oder? Das wäre irgendwie unlogisch.
Gruß Sleeper
|
|
| |
|
Das ist in der Tat widersprüchlich an der einen Stelle, lässt sich aber meiner Meinung nach leicht säubern:
> [mm]f:V\rightarrow[/mm] V Endomorphismus, [mm]v_1[/mm] Eigenvektor zu f zum
> EW [mm]\lambda_1, v_2[/mm] EV zu f zum Eigenwert [mm]\lambda_2.[/mm]
> Behauptung: Ist [mm]v_1+v_2[/mm] Eigenvektor zu [mm]f\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2.[/mm]
>
> Hallo,
>
> im Grunde ist der Beweis hierzu einfach, aber bei mir
> ergibt sich eine kleine ungereimtheit, der ich auf den Zahn
> fühlen will.
>
> Es gelten alle Voraussetzungen aus der Aufgabenstellung.
> Also Ang. [mm]v_1+v_2[/mm] sei ein EV zu f zum EW [mm]\mu.[/mm] Dann gilt
> [mm]v_1+v_2\neq[/mm] 0.
> Es gilt: [mm]f(v_1+v_2)=\mu v_1+\mu v_2[/mm]
> Weiterhin, da f linear: [mm]f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2.[/mm]
>
> Dann: [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2=\mu v_1+\mu v_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_1(\mu-\lambda_1)+v_2(\mu-\lambda_2)=0.[/mm]
>
Dann mach doch hier eine Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm] v_1, v_2 [/mm] sind linear unabhängig:
> Jetzt: Und hier kommt der Punkt, den ich meine:
> Ich sage jetzt, dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] lin. unabh. sind, weil EV
> zu verschiedenen Eigenwerten, also
Genau das passt ja nicht - es steht ja auch nicht in der Voraussetzung, dass [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] verschieden sind. Trotzdem folgt aus der Gleichung in diesem Fall sofort:
> [mm](\mu-\lambda_1)=0=\mu-\lambda_2,[/mm] es folgt die
> Behauptung.
Damit ist dieser Fall erledigt.
>
2. Fall: [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind linear abhängig:
In diesem Fall brauchst du die Gleichung garnicht, denn es gilt ja:
2 EW verschieden [mm] \Rightarrow [/mm] Die 2 EV sind l.u.
und damit die logische Umkehrung:
2 EV sind l.a. [mm] \Rightarrow [/mm] Die 2 EW sind nicht verschieden.
Damit folgt dann sofort [mm] \lambda_1=\lambda_2.
[/mm]
Das ist sozusagen der "einfache" Fall, den du sofort abhandeln könntest, ohne die Linearität oder ähnliches zu nutzen.
> Das heißt doch aber, um auf die finale Schlussfolgerung zu
> kommen, sage ich, dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] aufgrund verschiedener
> Eigenwerte linear unabhängig sind. So daraus folgere ich
> dann quasi, dass meine Eigenwerte aber doch gleich sind.
> Dann stimmt doch der Schritt davor nicht, oder? Das wäre
> irgendwie unlogisch.
>
> Gruß Sleeper
>
Gruß,
weightgainer
|
|
|
|
