lineare unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mi 23.04.2008 | | Autor: | deex |
| Aufgabe | Im Raum C[0,1] der auf [0,1] definierten, reellwertigen und stetigen Funktionen werden die Operationen (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x) und (a*f)(x) = a*f(x) erklärt. Man überprüfe folgende Funktionensysteme auf linieare Unabhängigkeit.
(c) {1,sinx,cosx} |
ich weis zwar wie ich vektoren auf lineare unabhängigkeit überprüfe , aber Funktionensysteme? - wie soll man das machen?
bitte um hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 23.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> ich weis zwar wie ich vektoren auf lineare unabhängigkeit
> überprüfe , aber Funktionensysteme? - wie soll man das
> machen?
>
Eigentlich auch nicht viel anders:
erst setzt man an, dass
[mm]a\cdot 1 + b\cdot \sin x + c\cdot \cos x = 0[/mm]
Wobei zu beachten ist, dass dies für alle [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ mit den gleich a,b und c gelten muss.
Als nächstes kann man 3 x-Wete aus [0,1] wählen. Mit diesen bekommt man dann 3 Gleichungen für a, b und c. Haben diese als einzige Lösung a=b=c=0, dann sind die Funktionen linear abhängig.
Gibt es für die gewählten Punkte noch mehr Lösungen, dann könnten die Funktionen linear unabhägig sein, allerdings muss man nachweisen, dass es auch nicht-triviale Lösungen gibt, die nicht nur für die drei Beispielwerte, sondern auch für alle anderen x-Werte in [0,1] die Gleichung erfüllen.
Versuch es einfach mal, in deinem Beispiel ist das wirklich nicht allzu schwer...
Gruß
piet
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