lineare injektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mi 09.03.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, leute!
Hier ist eine Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann, obwohl ich weiß, dass sie wohl nicht "so schwierig" sein kann.
Zeige oder widerlege:
(a) Es gibt eine injektive lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2}
[/mm]
(b) Es gibt eine injektive lineare Abbildung g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{4}
[/mm]
Zu (a) habe ich mir folgendes überlegt:
f(x,y,z) = (x,y) falls z [mm] \not= [/mm] 0; x [mm] \not= [/mm] 0
(x,0) falls z=0
Aber man hat mir das weggestrichen, ich weiß aber nicht warum meine Idee falsch ist.
Könnt ihr mir bitte meinen Fehler zeigen bzw. zeigen, wie es richtig geht?
Danke für eure Hilfe!
Ciao
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo, ich denke du solltest dir nochmal die Definition von  injektiv durchlesen.
Um zu zeigen, dass dein $f$ injektiv ist müsste gelten
[mm] $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}^3: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$
[/mm]
In deinem Fall gilt, dass [mm] $x_1=(1; [/mm] 2; 0)$ und [mm] $x_2=(1; [/mm] 0; 0)$ ein Gegenbeispiel ist, da [mm] $f(x_1)=(1;0)$ [/mm] und [mm] $f(x_2)=(1;0)$ [/mm] aber [mm] $x_1 \neq x_2$.
[/mm]
Das heißt jetzt noch nicht, dass es gar kein injektives $f$ gibt, aber deine Wahl war total falsch.
Ich denke,dass dir klar ist, dass man so eine injektive Funktion $f: [mm] \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ [/mm] leicht möglich ist. Kannst ja nochmal genauer überlegen, ob du eine Funktion auch im ersten Fall findest...
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 03.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
danke für deine antwort!
Allerdings würde ich dich um eine bisschen genauere Erklärung bitten.
Soweit ich verstanden habe, ist mein Beispiel falsch.
Aber kannst du mir vllt ein richtiges beispiel bzw. gegenbeispiel sagen? ich habe rumüberlegt, aber ich komm irgendwie auf nichts, das sinn macht.
Kann es sein, dass beide aussagen stimmen?
ich wäre dir echt dankbar, wenn du mir weiterhelfen könntest.
Danke! Ciao!
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Grüße!
Also, zum Begriff der Injektivität... wie Brackhaus schon erläutert hat, bedeutet Injektivität einer Abbildung $f : [mm] \IR^3 \to \IR^2$ [/mm] formal:
[mm] $\forall; x_1, x_2 \in \IR^3 [/mm] : [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2$
[/mm]
Soweit die formale Definition. Aber was bedeutet das anschaulich? Das heißt doch, dass es unter keinen Umständen vorkommen kann, dass zwei verschiedene Punkte des [mm] $\IR^3$ [/mm] auf den gleichen Punkt im [mm] $\IR^2$ [/mm] abgebildet werden... denn die Definition sagt mir: wann immer zwei Punkte auf das gleiche gehen, dann müssen sie zwangsläufig gleich sein.
Brackhaus hat Dir in seinem Post zwei verschiedene Punkte des [mm] $\IR^3$ [/mm] genannt, die den gleichen Bildpunkt unter $f$ haben - damit ist Deine Abbildugn nicht injektiv.
Jetzt ist die Frage: kann man das irgendwie retten? Gibt es überhaupt injektive lineare Abbildungen von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$?
[/mm]
Die Antwort ist "nein" und folgt direkt aus der Dimensionsformel für lineare Abbildungen. Diese Dimensionsformel sieht ja auf unser Beispiel angewandt folgendermaßen aus:
[mm] $\dim \IR^3 [/mm] = [mm] \dim \mbox{ kern} [/mm] f + [mm] \dim \mbox{ Bild} [/mm] f$
Für lineare Abbildung gilt aber: $f$ ist genau dann injektiv, wenn [mm] $\mbox{kern} [/mm] f = [mm] \{ 0 \}$. [/mm] Und das Bild von $f$ ist ein Unterraum von [mm] $\IR^2$, [/mm] also ist die Dimension kleiner oder gleich zwei.
Und das kann doch nicht gehen! Auf der linken Seite steht 3 und auf der rechten steht $0 + x$ wo $x [mm] \leq [/mm] 2$!
Zusammengefaßt: ein solches $f$ würde gegen die Dimensionsformal verstoßen und daher gibt es das nicht. Und es liegt anschaulich gesprochen daran, dass der Bildraum "zu klein" ist. Wäre der Bildraum z.B. der [mm] $\IR^4$, [/mm] dann könnte man so etwas machen, ohne die Dimensionsformel zu verletzen - mathedman gab auch schon ein Beispiel.
Alles klar? 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Di 05.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Vielen dank für deine Aufklärung.
Die Erklärung mit der Dimensionsformel war richtig einleuchtend, und ich habe die Aufgabe jetzt auch verstanden!
Danke!
Ciao!
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Zu b): hier bietet sich
[mm](x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_1,x_2,x_3,0)[/mm]
an.
Zu a): Angenommen [mm]f: \IR^3 \to \IR^2[/mm] ist linear und injektiv.
Hattet ihr schon die Dimensionsformel für lineare Abbildungen?
Nach der ist [mm]\dim \IR^3 = \dim im f + \dim ker f[/mm].
Da [mm]f[/mm] injektiv ist, folgt [mm]\dim ker f = 0[/mm]...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 05.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Danke für deine Antwort!
Allerdings habe ich noch eine Frage dazu bezüglich der Dimensionsformel.
dim [mm] \IR^{3} [/mm] = dim (ker f) + dim (im f)
Bei deinem Beispiel zu Teilaufgabe b):
[mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto (x_{1}, x_{2}, x_{3}, [/mm] 0)
wie lautet da die Dimensionsformel? ist das so richtig?
dim [mm] \IR^{3} [/mm] = dim (ker f) + dim (im f)
3 = 0 + 3
Ist es richtig, wenn ich sage: dim (im f) = 3, obwohl es [mm] \IR^{4} [/mm] heißt, weil die 4. koordinate immer eine Null ist?
Dann ist doch dim (ker f) = 0, also injektiv, oder?
Danke für deine Hilfe!
Ciao!
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> Hallo!
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> Danke für deine Antwort!
> Allerdings habe ich noch eine Frage dazu bezüglich der
> Dimensionsformel.
>
> dim [mm]\IR^{3}[/mm] = dim (ker f) + dim (im f)
>
> Bei deinem Beispiel zu Teilaufgabe b):
> [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}) \mapsto (x_{1}, x_{2}, x_{3},[/mm] 0)
> wie lautet da die Dimensionsformel? ist das so richtig?
>
> dim [mm]\IR^{3}[/mm] = dim (ker f) + dim (im f)
> 3 = 0 + 3
>
> Ist es richtig, wenn ich sage: dim (im f) = 3, obwohl es
> [mm]\IR^{4}[/mm] heißt, weil die 4. koordinate immer eine Null ist?
> Dann ist doch dim (ker f) = 0, also injektiv, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das kann man so sagen, denn die Abbildung geht zwar nach [mm] $\IR^4$, [/mm] aber das Bild dieser Abbildung ist eben nicht der ganze [mm] $\IR^4$, [/mm] sondern nur ein 3 dimensionaler Unterraum, eben weil die 4. Koordinate immer 0 ist.
Gruß,
Christian
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