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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Fr 18.04.2008 | | Autor: | bobby |
hallo!
ich habe zum satz über die erweiterung einer linearen abbildung den folgenden beweis gefunden, der ist allerdings sehr knapp gehalten und ich versteh ihn nicht so recht... ich halte demnächst einen vortrag in den der satz auch vorkommt, daher hoffe ich, dass jemand von euch mr den beweis vielleicht etwas besser erklären könnte???
Satz: für endliche mengen M [mm] \subseteq [/mm] M' von [mm] \IR [/mm] ist der [mm] \IQ [/mm] - Vektorraum V(M) = { [mm] \summe_{i=1}^{k} q_{i}*m_{i} [/mm] mit [mm] q_{i} \in \IQ [/mm] und [mm] m_{i} \in [/mm] M } ein Untervektorraum des [mm] \IQ-Vektorraumes [/mm] V(M'). Jede lineare Funktion f : [mm] V(M)\to\IQ [/mm] kann deshalb zu einer linearen Funktion f': [mm] V(M')\to\IQ [/mm] erweitert werden, so dass f'(m)=f(m) für alle m [mm] \in [/mm] M gilt.
Beweis: Eine lineare Funktion f ist eindeutig bestimmt, wenn man ihre Werte auf einer Basis von V(M) kennt. Jede Basis von V(M) lässt sich zu einer Basis von V(M') erweitern, daraus folgt nun die Behauptung.
ich hoffe jemand von euch sieht da durch??
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Hallo,
kannst Du etwas genauer sagen, was am Beweis Du nicht verstehst?
Ich kann mich in Dein Problem nämlich nicht recht hineindenken.
Ich kann mir höchstens vorstellen, daß Dir ein paar Kenntnisse (die Du haben solltest!) fehlen:
1. jede Lineare Abbildung ist durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
2. Basisergänzungssatz: man kann jede linear unabhängige Teilmenge von Vektoren eines VRes V durch weitere Vektoren zu einer Basis des V ergänzen.
In Deinem Text hast Du die Situation, daß der VR V(M) ein Untervektorraum des Vres V(M') ist.
Die Basis von V(M) kannst Du durch Hinzufügen geeigneter Vektoren zu einer Basis des V(M') ergänzen.
Wenn Du nun eine lineare Abbildung f hast, welche auf V(M) definiert ist, ist diese eindeutig durch die Werte auf einer Basis von V(M) definiert.
Nun kannst Du eine lineare Abbildung f' definieren auf V(M'), indem Du folgendes tust:
Du nimmst die ergänzte Basis, und weist f' auf den Basisvektoren, die auch in der Basis von V(M) sind, genau den Wert von f zu.
Die verbleibenden Funktionswerte definierst Du Deinen Bedürfnissen entsprechend.
Dann stimmen auf dem UVR V(M) beide Abbildungen überein.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:15 Di 24.06.2008 | | Autor: | bobby |
Mein Problem ist zwar schon etwas länger her, aber ich würde es aus gegebenem Anlass (muss Arbeit darüber schreiben) nocheinmal auffrischen...
Ich habe zu dem Lemma zur Erweiterung linearer Abbildungen den jetzt folgenden Beweis erarbeitet und wollte mal fragen ob ich der so richtig ist oder ob ich irgendwas wichtiges noch erwähnen müsste,...
Beweis: Seien die Mengen M [mm] \subseteq [/mm] M', wobei M = [mm] {m_{1}, ... , m_{k}} [/mm] und M' = [mm] {m_{1}, ... , m_{k}, m'_{k + 1}, ... , m'_{l}} [/mm] jeweils endliche Mengen reeller Zahlen sind. Es ist nun V(M) ein Untervektorraum von V(M'), die jeweils wie oben definiert konstruiert werden können. Man kann also eine Basis [mm] {m_{1}, ... , m_{n}} [/mm] von V(M) zu einer
Basis [mm] {m_{1}, ... , m_{n}, m'_{o}, ... , m'_{p}} [/mm] von V(M') ergänzen.
Wählen wir uns eine lineare Funktion f : V(M) -> [mm] \IQ [/mm] , so ist diese durch ihre Werte auf einer Basis
von V(M) eindeutig durch die Form f(v) = [mm] f(\summe_{i=1}^{n} q_{i}m_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} q_{i}f(m_{i})
[/mm]
mit bekanntem [mm] f(m_{i}) [/mm] und v [mm] \in [/mm] V(M) bestimmt.
Konstruieren wir uns eine erweiterte lineare Abbildung f' : V(M') -> [mm] \IQ [/mm] , also die Erweiterung der Abbildung f, und nehmen uns ein Element v' aus dem Vektorraum V(M'). v' hat definitionsgemäß folgende Form:
v'= [mm] \summe_{i=1}^{n} q_{i}m_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=o}^{p} [/mm] q'_{i}m'_{i}
und somit den Funktionswert f'(v') = [mm] \summe_{i=1}^{n} q_{i}f(m_{i}) [/mm] + [mm] \summe_{i=o}^{p} [/mm] q'_{i}f'(m'_{i}) mit frei wählbarem f'(m'_{i}) [mm] \in \IQ.
[/mm]
Da v [mm] \in [/mm] V(M) und V(M) [mm] \subseteq [/mm] V(M') ist, folgt natürlich, dass v [mm] \in [/mm] V(M'), d.h. des erweiterten Vektorraumes ist. Somit lässt sich v also auch in der Form von v' darstellen und zwar mit gewählten q'_{i}=0 :
[mm] v=\summe_{i=1}^{n} q_{i}m_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=o}^{p} [/mm] 0 * m'_{i}
Daraus folgt:
[mm] f'(v)=\summe_{i=1}^{n} q_{i}f(m_{i}) [/mm] + [mm] \summe_{i=o}^{p} [/mm] 0 * f'(m'_{i}) = [mm] \summe_{i=1}^{n} q_{i}f(m_{i}) [/mm] = f(v)
Damit folgt auch die Behauptung, dass man jede lineare Abbildung f zu einer linearen Abbildung f' so erweitern kann, dass f'(m) = f(m) für alle m [mm] \in [/mm] M ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Fr 27.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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