lineare abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
hab eine Frage:
Sind 4 Vektoren eigentlich immer linear abhängig?
Gruss
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Hallo defjam,
> Hey Leute,
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> hab eine Frage:
> Sind 4 Vektoren eigentlich immer linear abhängig?
Das hängt von dem Vektorraum ab, aus dem die Vektoren sind.
Ich vermute mal schwer, du meinst Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] ?
Dann ist eine Menge von 4 Vektoren in der Tat immer linear abhängig.
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] enthält eine linear unabhängige Menge von Vektoren maximal 3 Vektoren, dh, jede Menge, die mehr als 3 Vektoren enthält, ist in jedem Falle linear abhängig
Im Allgemeinen stimmt die Aussage natürlich nicht, nimm zB den [mm] $\IR^5$ [/mm] her und schaue dir die Menge [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0\\0},\vektor{0\\0\\1\\0\\0},\vektor{0\\0\\0\\1\\0}\right\}$ [/mm] an.
Die ist mit Sicherheit linear unabhängig
>
> Gruss
LG
schachuzipus
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danke für deine Hilfe!
Was ist mit $ [mm] \IR^3 [/mm] $ gemeint? und warum ist es dann nur linear Abhänigig wenn es mehr als $ [mm] \IR^3 [/mm] $ ist
Gruss
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Hallo nochmal,
der [mm] $\IR^3$ [/mm] ist der "ganz normale 3D-Raum" - der eukidische Vektorraum der Dimension 3
Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] haben 3 reelle Komponenten, sind also von der Gestalt [mm] $\vec{v}=\vektor{x\\y\\z}$, [/mm] wobei [mm] $x,y,z\in\IR$ [/mm] sind
Gruß
schachuzipus
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Danke
bin nicht so fit in diesem Thema.
wenn 4 Vektoren über R3 linear abhängig sind, dann bdeutet das, dass sie auf einer Ebene liegen oder?
Gruss
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Hallo nochmal,
> Danke
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> bin nicht so fit in diesem Thema.
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> wenn 4 Vektoren über R3 linear abhängig sind, dann bdeutet
> das, dass sie auf einer Ebene liegen oder?
nicht unbedingt, da gibt's mehrere Möglichkeiten
Ich versuche das mal an Bspen zu verdeutlichen:
Wir haben ne Menge mit 4 Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$
[/mm]
Sagen wir (a) [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1},\vektor{1\\2\\3}\right\}$
[/mm]
Dann ist die Menge, die aus den ersten drei Vektoren besteht, ersichtlich liear unabhängig. Die ersten 3 Vektoren spannen den ganzen Raum [mm] $\IR^3$ [/mm] auf. Der 4. Vektor [mm] $\vektor{1\\2\\3}$ [/mm] liegt in diesem Raum
Fall (b): [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{2\\1\\0},\vektor{4\\2\\0}\right\}$
[/mm]
Hier sind die beiden letzten Vektoren Vielfache voneinander, außerdem lassen sie sich als LK der ersten beiden Vektoren darstellen.
Es ist also nur die (Teil)menge der ersten beiden Vektoren linear unabhängig
Die beiden spannen eine Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, und zwar die xy-Ebene
Die anderen beiden Vektoren liegen in dieser Ebene
Fall (c): [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{2\\0\\0},\vektor{3\\0\\0},\vektor{4\\0\\0}\right\}$
[/mm]
Hier sind alle Vektoren Vielfache des ersten (bzw. voneinander)
Der erste spannt eine Gerade im [mm] $\IR^3$, [/mm] also im Raum auf, die durch $U=(0,0,0)$, also den Ursprung geht
Die anderen 3 Vektoren liegen alle auf dieser Geraden
Genauso gut kannst du sagen, dass der 4te Vektor diese (dieselbe) Gerade aufspannt und die ersten 3 Vektoren auf dieser Geraden liegen
Jeder dieser 4 Vektoren spannt dieselbe Gerade im Raum auf, und die anderen 3 liegen jeweils auf dieser Geraden
LG
schachuzipus
>
> Gruss
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