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| Aufgabe | Sei V der Vektorraum aller Polynome mit Grad kleiner-gleich 2 über [mm] \IR [/mm] und sei B eine Basis [mm] B=\{1,x,x^2\} [/mm] .
Sei $ U:V [mm] \to [/mm] V $ eine lineare Abbildung definiert als
[mm] U(a+bx+cx^2)=(a+2c)x+(b+c)x^2
[/mm]
a) Finden Sie [mm] [U]_{B}
[/mm]
b) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von U und eine Basis bestehend aus Eigenvektoren
c) Bestimmen Sie [mm] U^{100}(1+x) [/mm] |
Hallo,
Aufgabenteile a) und b) waren kein Problem, meine Antworten stimmen mit den Antworten der Lösung überein. Die entsprechenden Ergebnisse sind
a) [mm] [U]_B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
b) Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_1=0 [/mm] , [mm] \lambda_2=-1 [/mm] , [mm] \lambda_3=2
[/mm]
Die entsprechenden Eigenvektoren sind [mm] v_1=\vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{0 \\ -2 \\ 1}.
[/mm]
Die entsprechende Eigenvektorbasis für U wäre also [mm] \{2+x-x^2,x+x^2,-2x+x^2\}
[/mm]
Mein Problem liegt nun bei c) . Die Matrix zur Basis C ist ja nun die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen, also
[mm] [U]_C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}. D^{100} [/mm] von dieser Matrix wäre leicht zu bestimmen.
Aber wie genau muss ich da jetzt vorgehen, ich weiß, das [mm] [U]_C=P^{-1}[U]_B*P [/mm] ist , also [mm] [U]_B=P*[U]_C*P^{-1}. [/mm] Wobei P die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren ist. Nur, wie hilft mir das weiter ?
Lg
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Hallo,
> Mein Problem liegt nun bei c) . Die Matrix zur Basis C ist
> ja nun die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der
> Diagonalen, also
>
> [mm][U]_C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}.[/mm]
> [mm] D^{100} [/mm] von dieser Matrix wäre leicht zu bestimmen.
> Aber wie genau muss ich da jetzt vorgehen, ich weiß, das
> [mm][U]_C=P^{-1}[U]_B*P[/mm] ist , also [mm][U]_B=P*[U]_C*P^{-1}.[/mm] Wobei
> P die Matrix bestehend aus den Eigenvektoren ist. Nur, wie
> hilft mir das weiter ?
Nutze die Gleichung
[mm] $[U]_B=P*[U]_C*P^{-1}.$
[/mm]
Aus dieser folgt:
[mm] $([U]_B)^{2}=(P*[U]_C*\red{P^{-1})*(P}*[U]_C*P^{-1}) [/mm] = [mm] P*([U]_{C})^{2}*P^{-1}$,
[/mm]
und entsprechend:
[mm] $([U]_B)^{100} [/mm] = [mm] P*([U]_{C})^{100}*P^{-1}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hallo,
mir kam gerade eine Idee, kann ich es nicht wie folgt machen:
Ich habe eine Basis aus Eigenvektoren und die dazugehöre Matrix, die Diagonalmatrix , jetzt stelle ich 1+x als linearkombination der neuen Basis dar, also also
[mm] v=1+x=a*(2+x-x^2)+b*(2x-x^2)+c*(x+x^2) \Rightarrow a=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] c=\bruch{1}{2} [/mm] , der Vektor [mm] [v]_C=\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2}} [/mm] , Jetzt gilt für [mm] [U(v)]_C=[U]_C*[v]_C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2}} [/mm] demensprechend für [mm] U^{100} [/mm] :
[mm] [U^{100}(v)]_C=[U]^{100}_C*[v]_C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}^{100}*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 2^{99}} \Rightarrow c=2^{99} \Rightarrow U^{100}(1+x)=2^{99}*(x+x^2) [/mm] .
Stimmt das ?
LG
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Hallo,
> Hallo,
>
> mir kam gerade eine Idee, kann ich es nicht wie folgt
> machen:
>
> Ich habe eine Basis aus Eigenvektoren und die dazugehöre
> Matrix, die Diagonalmatrix , jetzt stelle ich 1+x als
> linearkombination der neuen Basis dar, also also
>
> [mm]v=1+x=a*(2+x-x^2)+b*(2x-x^2)+c*(x+x^2) \Rightarrow a=\bruch{1}{2}[/mm]
> und [mm]c=\bruch{1}{2}[/mm] , der Vektor [mm][v]_C=\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
> , Jetzt gilt für [mm][U(v)]_C=[U]_C*[v]_C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
> demensprechend für [mm]U^{100}[/mm] :
>
> [mm][U^{100}(v)]_C=[U]^{100}_C*[v]_C=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}^{100}*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 2^{99}} \Rightarrow c=2^{99} \Rightarrow U^{100}(1+x)=2^{99}*(x+x^2)[/mm]
> .
>
> Stimmt das ?
Ja, das ist richtig.
Im Grunde handelt es sich dabei genau um das, was ich geschrieben habe, nur hast du es eben "intuitiv" gemacht.
Wir suchen: [mm] $([U]_{B})^{100}*\vektor{1\\1\\0}$, [/mm] also die Abbildung 100-mal auf 1+x angewendet. Dazu können wir auch berechnen:
[mm] $([U]_{B})^{100}*\vektor{1\\1\\0} [/mm] = [mm] T*([U]_{C})^{100}*T^{-1}*\vektor{1\\1\\0}$,
[/mm]
wobei T die Transformationsmatrix von C nach B ist. Du hast nun zuerst
[mm] $T^{-1}*\vektor{1\\1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1/2\\0\\1/2}$
[/mm]
ausgerechnet, danach
[mm] $([U]_{C})^{100}*T^{-1}*\vektor{1\\1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\2^{99}}$
[/mm]
und dann noch in die Basis C rücktransformiert (Anwendung von T).
Also alles okay!
Grüße,
Stefan
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