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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen f : R3 [mm] \to [/mm] R3 linear sind:
[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] f(\vektor{x \\ y-1 \\ z}) [/mm] |
Bei der Addition komme ich auf
[mm] f(\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}) [/mm] + [mm] f(\vektor{x_2 \\ y_2-1 \\ z_2}) [/mm]
Wie beweist man nun, dass diese Abbildung nicht linear ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen f : R3
> [mm]\to[/mm] R3 linear sind:
> [mm]f(\vektor{x \\ y \\ z})[/mm] = [mm]f(\vektor{x \\ y-1 \\ z})[/mm]
Du hast wohl die Abbildung nicht richtig notiert.
Ich vermute, dass es heissen sollte:
[mm]f(\vektor{x \\ y \\ z})[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y-1 \\ z}[/mm]
Damit kann man sich die Abbildung auch klar
vorstellen: Es handelt sich um eine Verschiebung
in y-Richtung mit dem Verschiebungsvektor [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm]
> Bei der Addition komme ich auf
>
> [mm]f(\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1})[/mm] + [mm]f(\vektor{x_2 \\ y_2-1 \\ z_2})[/mm]
??? kannitverstan 
> Wie beweist man nun, dass diese Abbildung nicht linear
> ist?
Für Linearität müsste insbesondere (nebst der
Additivität) gelten:
[mm] f(k*\vektor{x \\ y \\ z})=k*f(\vektor{x \\ y \\ z})
[/mm]
Die vorgegebene Abbildung f erfüllt diese Gleichung
nicht für alle k und alle Vektoren. Ein Gegenbeispiel
genügt, um zu zeigen, dass f nicht linear ist.
f ist aber immerhin eine affine Abbildung und sogar
eine Kongruenzabbildung, welche z.B. auch jede
Gerade auf eine Gerade abbildet.
LG
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