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| Aufgabe | 1) Ich soll zeigen, dass die A:={ ln 2, ln 3, ln 5,...} aller natürlicher Logarithmen von Primzahlen linear unabhängig ist, im Vektorraum [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] .
2)Es soll gezeigt werden, dass die Menge aller Folgen die an der i-ten Stelle eine 1 haben und sonst nur Nullen und die Menge aller Folgen, die bis zur i-ten Stelle aus 1 bestehen und ab i+1 nur aus Nullen, linear unabhängig im [mm] K^\infty [/mm] ( unendlicher Folgenraum) sind. Ausserdem soll geprüft werden, ob diese Mengen auch Basen sind.
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Nun hab ich das Problem das, dass ja alles nicht endlich Mengen sind und ich hab als Kriterien meines Wissens nur die Def. einer Lin. Unabhängigen Menge
[mm] \forall a\in [/mm] A: [mm] a\notin L\{A-\{a\}\} [/mm] ( L = Lineare Hülle)
Und A ist linear Unabhängig <=> [mm] \forall \{a_1 , a_2, ... ,a_n\} \subseteq [/mm] A und
[mm] \forall c_1 [/mm] , ..., [mm] c_n \in [/mm] K gilt [mm] \sum_{i=1}^{n} c_i a_i, [/mm] = 0 => [mm] c_1=...c_i=0 [/mm]
ich hab schon an vollständige Induktion gedacht, aber wirklich weiter bin ich damit auch nicht gekommen.
Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich da weiter komm?
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) matheplanet.com und matheboard.de
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> 1) Ich soll zeigen, dass die A:={ ln 2, ln 3, ln 5,...}
> aller natürlicher Logarithmen von Primzahlen linear
> unabhängig ist, im Vektorraum [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] .
>
> 2)Es soll gezeigt werden, dass die Menge aller Folgen die
> an der i-ten Stelle eine 1 haben und sonst nur Nullen und
> die Menge aller Folgen, die bis zur i-ten Stelle aus 1
> bestehen und ab i+1 nur aus Nullen, linear unabhängig im
> [mm]K^\infty[/mm] ( unendlicher Folgenraum) sind. Ausserdem soll
> geprüft werden, ob diese Mengen auch Basen sind.
>
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Nun hab ich das Problem das, dass ja alles nicht endlich
> Mengen sind
> Und A ist linear Unabhängig <=> [mm]\forall \{a_1 , a_2, ... ,a_n\} \subseteq[/mm]
> A und
> [mm]\forall c_1[/mm] , ..., [mm]c_n \in[/mm] K gilt [mm]\sum_{i=1}^{n} c_i a_i,[/mm]
> = 0 => [mm]c_1=...c_i=0[/mm]
Daß die Mengen nicht endlich sind, muß Dich nicht weiter bekümmern,
denn für die lineare Unabhängigkeit betrachtest Du nur (alle) endlichen Teilmengen der Menge, wie Du an dem, was Du selbst aufgeschrieben hast, sehen kannst.
Zu a.)
Nimm an, daß die Menge linear abhängig ist, und führe das zu einem Widerspruch.
Angenommen es gibt Primzahlen [mm] p_i [/mm] und rationale Zahlen [mm] a_i, [/mm] von denen mindestens eine [mm] \not=0 [/mm] ist, so daß
[mm] 0=a_1lnp_1+...+a_nlnp_n
[/mm]
Überlege Dir, daß es dann ganze Zahlen [mm] b_i, [/mm] die nicht alle =0 sind, gibt mit
[mm] 0=b_1lnp_1+...+b_nlnp_n.
[/mm]
Nun "e hoch das Ganze", dann Teilbarkeitsüberlegungen.
Zu 2.
Bei der Menge der Folgen, die nur an der i_ten Stelle =1 sind und ansonsten 0 sollte die lineare Unabhängigkeit leicht zu zeigen sein. (Du betrachtest wieder ja nur endl. Summen.)
Zum Erzeugendensystem: Kannst Du die Folge mit [mm] a_n=1 [/mm] für alle n mit den betrachteten Folgen erzeugen?
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für die Antwort!!!
2) Auf die lineare Unabhängigkeit bin ich mitlerweile auch schon gekommen, aber an bei den Basen bin ich mir noch nicht sicher.
Meinst du eigentlich mit [mm] a_n [/mm] = 1 die Folge (1,1,1,1,....) bis zur n-ten Stelle?
Wenn ja, muss ich doch nur [mm] a_n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} c_i a_i
[/mm]
mit [mm] c_1=...=c_n [/mm] = 1 [mm] a_i [/mm] = Folge die an der i-ten Stelle 1, sonst nur Nullen hat machen, und hab meine eindeutige Darstellung.
Du meinst doch bestimmmt mit Erzeugendensystem, das jeder vom Nullvektor versch. Vektor als lin. Kombination von Vektoren aus B eindeutig dargestellt werden kann?
Gruß Damiel
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> 2) Auf die lineare Unabhängigkeit bin ich mitlerweile auch
> schon gekommen, aber an bei den Basen bin ich mir noch
> nicht sicher.
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> Meinst du eigentlich mit [mm]a_n[/mm] = 1 die Folge (1,1,1,1,....)
> bis zur n-ten Stelle?
Nein. Ich meine damit die Folge, die konstant =1 ist.
Da wird es schwierig mit einer (endl.) Linearkombination.
>
> Wenn ja, muss ich doch nur [mm]a_n[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{n} c_i a_i[/mm]
>
> mit [mm]c_1=...=c_n[/mm] = 1 [mm]a_i[/mm] = Folge die an der i-ten Stelle 1,
> sonst nur Nullen hat machen, und hab meine eindeutige
> Darstellung.
>
> Du meinst doch bestimmmt mit Erzeugendensystem, das jeder
> vom Nullvektor versch. Vektor als lin. Kombination von
> Vektoren aus B eindeutig dargestellt werden kann?
Nein, die Eindeutigkeit muß für ein Erzeugendensystem nicht unbedingt gelten. Einfach nur: jeder Vektor als Linearkombination darstellbar.
Die Eindeutigkeit gilt dann für minimale Erzeugendensysteme, also Basen.
Gruß v. Angela
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ach ok, dann ist ein Erzeugendensystem einfach eins, das den VR aufspannt, aber nicht unbedingt das kleinste, weil das ja dann die Basis wär, gut zu wissen!
Nochmal zur Basis.
Wenn das mit den beiden Mengen aus der Aufgabe nicht klappt, wie sieht die Basis dieser VRs dann aus? Ich dachter eigentlich das die das wären, weil die fast so aussehen wie die kanonische Basis ( nur das es da keine n-Tupel sonder Folgen sind)
Naja aber für meine Aufgaben hab ich dann aufjedenfall mal genug Anhaltspunkte.
Vielen Dank angela.h.b für deine ausführlichen Antworten!!!!
Gruß Daniel.
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> Nochmal zur Basis.
> Wenn das mit den beiden Mengen aus der Aufgabe nicht
> klappt, wie sieht die Basis dieser VRs dann aus? Ich
> dachter eigentlich das die das wären, weil die fast so
> aussehen wie die kanonische Basis ( nur das es da keine
> n-Tupel sonder Folgen sind)
Hallo,
ich dachte das eigentlich auch mal, und ich denke, wir sind nicht die einzigen, die das mal gedacht haben.
Diese Basis kann man nicht explizit angeben, die Existenz einer solchen ist jedoch bewiesen in dem Satz: "Jeder Vektorraum hat eine Basis".
Gruß v. Angela
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Danke für die Antwort und danke das du mir ein bißchen Mut gemacht hast das ich nicht der einzige bin, der vor solchen Probs steht!
Zusatz:
Ich hab gerade mit meinem Übungsleiter geredet und der meinte, dass die beiden Mengen doch Basen des [mm] K^{\infty} [/mm] sind.
Er meinte dann, das es 2 Strömungen in der Algebra gibt, und das wir uns nicht auf endlichkeit beschränkt haben. So ganz verstanden hab ich das zwar nicht, aber ich denk mal er wird da schon recht haben, oder etwa nicht.
Jetzt bin ich mehr verwirrt als zuvor....
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 So 21.01.2007 | | Autor: | Rudy |
Nabend,
> > 1) Ich soll zeigen, dass die A:={ ln 2, ln 3, ln 5,...}
> > aller natürlicher Logarithmen von Primzahlen linear
> > unabhängig ist, im Vektorraum [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] .
> Zu a.)
>
> Nimm an, daß die Menge linear abhängig ist, und führe das
> zu einem Widerspruch.
>
> Angenommen es gibt Primzahlen [mm]p_i[/mm] und rationale Zahlen [mm]a_i,[/mm]
> von denen mindestens eine [mm]\not=0[/mm] ist, so daß
>
> [mm]0=a_1lnp_1+...+a_nlnp_n[/mm]
>
> Überlege Dir, daß es dann ganze Zahlen [mm]b_i,[/mm] die nicht alle
> =0 sind, gibt mit
>
> [mm]0=b_1lnp_1+...+b_nlnp_n.[/mm]
>
> Nun "e hoch das Ganze",
Das mache ich mal
[mm] $0=a_1lnp_1+...+a_nlnp_n$
[/mm]
[mm] $e^0 [/mm] = [mm] e^{a_1*ln(p_1)+....+a_n*ln(p_n)}$
[/mm]
$1 [mm] =p_1^{a_1}+....+p_n^{a_n}$ [/mm]
Das selbe für die zweite Gleichung
$1 = [mm] p_1^{b_1}+...+p_n^{b_n}$
[/mm]
> dann Teilbarkeitsüberlegungen.
$1 [mm] =p_1^{a_1}+....+p_n^{a_n}$ [/mm]
$1 = [mm] p_1^{b_1}+...+p_n^{b_n}$
[/mm]
Was soll man da machen?
a ist ja rational, b ganz
Und nun teilen??
$1 = [mm] \frac{p_1^{a_1}+....+p_n^{a_n}$ }{p_1^{b_1}+...+p_n^{b_n}}$
[/mm]
Das ist so nicht weiter zu vereinfachen. Was ist alsozu machen?
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> > Überlege Dir, daß es dann ganze Zahlen [mm]b_i,[/mm] die nicht alle
> > =0 sind, gibt mit
> >
> > [mm]0=b_1lnp_1+...+b_nlnp_n.[/mm]
> >
> > Nun "e hoch das Ganze",
>
> Das mache ich mal
> [mm]1 = p_1^{b_1}+...+p_n^{b_n}[/mm]
Hallo,
und: aua!
Was ist denn eigentlich [mm] e^{a+b}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 21.01.2007 | | Autor: | Rudy |
Hi,
> > > Überlege Dir, daß es dann ganze Zahlen [mm]b_i,[/mm] die nicht alle
> > > =0 sind, gibt mit
> > >
> > > [mm]0=b_1lnp_1+...+b_nlnp_n.[/mm]
> > >
> > > Nun "e hoch das Ganze",
> >
> > Das mache ich mal
>
>
> > [mm]1 = p_1^{b_1}+...+p_n^{b_n}[/mm]
> und: aua!
>
> Was ist denn eigentlich [mm]e^{a+b}?[/mm]
[mm] $e^a*e^b$
[/mm]
Nochmal:
$ [mm] 0=a_1lnp_1+...+a_nlnp_n [/mm] $ e hoch
$1 = [mm] e^{a_1*ln(p_1)+...+a_n*ln(p_n)}
[/mm]
$1 = [mm] e^{a_1*ln(p_1)} *...*e^{a_n*ln(p_n)}
[/mm]
$1= [mm] p_1^{a_1}*...*p_n^{a_n}$
[/mm]
und
$1= [mm] p_1^{b_1}*...*p_n^{b_n}$
[/mm]
a rational, b ganz
Teilen
$1 = [mm] \frac{p_1^{a_1}*...*p_n^{a_n}}{p_1^{b_1}*...*p_n^{b_n}}$
[/mm]
$1 = [mm] p_1^{a_1-b_1}*...*p_n^{a_n-b_n}$
[/mm]
Und nun?
Ich meine, es ist ja jetzt nicht so, dass jeder Faktor 1 ergeben muss. Der erste kann ja auch 2 sein und der zweite einhalb und alle anderen 1.
Ich weiß noch immer nicht, was ich daraus folgern kann.
Hilfst du noch mal, bitte?
Gruß:
Rudy
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>
>
1= [mm] p_1^{b_1}*...*p_n^{b_n}[/mm]
[/mm]
>
[mm] b_i [/mm] ganz
Die [mm] a_i [/mm] brauchen wir nicht mehr, wir hatten ja auf ganzzahlige Koeffizienten [mm] b_i [/mm] "hochmultipliziert.
Von Deinen [mm] b_i [/mm] werden einige positiv sein, einige negativ.
Die Primzahlen mit negativem Exponenten bringst Du nun auf die linke Seite.
Jetzt hast Du auf beiden Seiten Primzahlpotenzen mit natürlichem Exponenten und kannst Teilbarkeitsüberlegungen anstellen.
Gruß v. Angela
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