lineare Unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 28.09.2005 | | Autor: | nina182 |
eigentlich hab ich die lineare (Un)Abhängigkeit verstanden, aber bei dieser aufgabe komme ich einfach nicht darauf, wie ich das zeigen soll.....
also die aufgabe lautet:
zeichnen sie je einen pfeil zweier linear unabhängiger vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}.
[/mm]
a) zeigen sie algebraisch, dass die beiden vektoren [mm] \vec{a}+ \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{a}- \vec{b} [/mm] ebenfalls linear unabhängig sind.
b) veranschaulichen sie diese behauptung von a) in ihrer zeichnung.
wäre lieb wenn mir jemand helfen könnte.....
lg nina
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Hi, Nina,
> also die aufgabe lautet:
> zeichnen sie je einen pfeil zweier linear unabhängiger
> vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}.[/mm]
Linear unabhängig heit, dass Du diese Pfeile nicht parallel zeichnen darfst. Also zeichne die Vektoren von einem gemeinsamen Anfangspunkt (Fußpunkt) aus in verschiedene Richtungen.
> a) zeigen sie algebraisch, dass die beiden vektoren
> [mm]\vec{a}+ \vec{b}[/mm] und [mm]\vec{a}- \vec{b}[/mm] ebenfalls linear
> unabhängig sind.
Da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind, gibt es keine Konstante k so,
dass z.B. [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] k*\vec{a} [/mm] wäre. (***)
Nun nimm' an, dass die Vektoren [mm] \vec{a}+ \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{a}-\vec{b}
[/mm]
linear abhängig wären. Dann müsste es eine Konstante c geben so, dass z.B.
[mm] (\vec{a}+ \vec{b}) [/mm] = c*( [mm] \vec{a}-\vec{b})
[/mm]
Nun forme um:
[mm] \vec{a}- c*\vec{a} [/mm] = [mm] -c*\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
oder: [mm] (1-c)*\vec{a} [/mm] = [mm] (-1-c)*\vec{b} [/mm]
c=1 kann man ausschließen, da sonst [mm] \vec{a}+ \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a}- \vec{b} [/mm] wäre und damit [mm] \vec{b}=\vec{o}
[/mm]
Daher kann man obige Gleichung durch (1-c) dividieren und kriegt:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{-1-c}{1-c}*\vec{b}
[/mm]
Somit wäre [mm] \vec{a} [/mm] doch ein Vielfaches von [mm] \vec{b}, [/mm] was wiederum ein Widerspruch zu (***) wäre. Beweis erbracht!
> b) veranschaulichen sie diese Behauptung von a) in ihrer
> zeichnung.
>
Naja: Du zeichnest die Vektoren [mm] \vec{a}+ \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{a}- \vec{b}
[/mm]
(mit gleichem Fußpunkt) einfach in Deine obige Zeichnung ein und siehst sofort:
Die sind AUCH nicht parallel!
mfG!
Zwerglein
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Hallo nina182,
> eigentlich hab ich die lineare (Un)Abhängigkeit verstanden,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also die aufgabe lautet:
> zeichnen sie je einen pfeil zweier linear unabhängiger
> vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}.[/mm]
> a) zeigen sie algebraisch, dass die beiden vektoren
> [mm]\vec{a}+ \vec{b}[/mm] und [mm]\vec{a}- \vec{b}[/mm] ebenfalls linear
> unabhängig sind.
Wir sollen also zeigen:
[mm]\alpha \;\left( {\vec{a} \; + \;\vec{b} } \right)\; + \;\beta \;\left( {\vec{a} \; - \;\vec{b} } \right)\; = \;\vec{0}[/mm]
mit [mm]\alpha\;=\;\beta\;=\;0[/mm]
Die obige Gleichung formen wir etwas um:
[mm]\left( {\alpha \; + \;\beta } \right)\;\vec{a} \; + \;\left( {\alpha \; - \;\beta } \right)\;\vec{b} = \;\vec{0}[/mm]
Nun sind aber [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] linear unabhängig, d.h. es muß gelten:
[mm]
\begin{gathered}
\alpha \; + \;\beta \; = \;0 \hfill \\
\alpha \; - \;\beta \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Diese Gleichung wird nur für [mm]\alpha\;=\;\beta\;=\;0[/mm] erfüllt, somit sind die Vektoren [mm]\vec{a}\;+\;\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{a}\;-\;\vec{b}[/mm] linear unabhängig.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mi 28.09.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo mathepower,
vielen dank für deine erklärung, ich glaube, dass ich die aufgabe jetzt verstanden habe.....
lg nina
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