lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Hab die Aufgabe von hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg969/ |
Also es kommt mir logisch vor, dass man aus l.a. Vektoren durch eine lineare Abb. keine l.u. Vektoren bekommen kann. Aber wie kann man das formal aufschreiben (als Beweis)?
Bei den anderen genauso, ich finde Gegenbeispiele schnell, aber das mit dem Beweisen find ich knifflig.
Zur2. und 3. hab ich als Gegenbeispiel eine Matrix, in der 2 Spalten l.a. sind, is das OK?
Könntet ihr mir bei der 1. und 4. bei dem Beweis helfen? Danke =)
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Hallo Rudi,
> Hab die Aufgabe von hier:
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> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg969/
> Also es kommt mir logisch vor, dass man aus l.a. Vektoren
> durch eine lineare Abb. keine l.u. Vektoren bekommen kann.
> Aber wie kann man das formal aufschreiben (als Beweis)?
>
> Bei den anderen genauso, ich finde Gegenbeispiele schnell,
> aber das mit dem Beweisen find ich knifflig.
>
> Zur2. und 3. hab ich als Gegenbeispiel eine Matrix, in der
> 2 Spalten l.a. sind, is das OK?
Zeig mal die Bspe her ...
>
> Könntet ihr mir bei der 1. und 4. bei dem Beweis helfen?
> Danke =)
1) ist Kontraposition von 4) bzw. umgekehrt, es genügt, eines zu zeigen, das andere folgt dann er Kontraposition.
Zeige etwa 4):
Dazu mache einen indirekten Beweis:
Seien also [mm] $T(v_1),..., T(v_n)$ [/mm] linear unabhängig.
Dh. per Definition: [mm] $0=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i\cdot{}T(v_i)\Rightarrow \lambda_i=0 [/mm] \ \ [mm] \forall i\in\{1,..., n\}$
[/mm]
Ann.: [mm] $v_1,..., v_n$ [/mm] linear abhängig.
dh. per Def. [mm] $0=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\cdot{}v_i$ [/mm] und mindestens ein [mm] $\mu_i\neq [/mm] 0$
Dann ist aber [mm] $T(0)=0=T\left(\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\cdot{}v_i\right)=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\cdot{}T(v_i)$ [/mm] wegen der Linearität von T.
Dabei ist mind. ein [mm] $\mu_i\neq [/mm] 0$
Worin liegt nun der Widerspruch?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Rudy |
Also ein Bsp is z.B.:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Wenn man die Matrix mit den Vektoren der kanonischen Basis multipliziert(l.u.) kommen 2 l.a. Vektoren raus. Umkehrschluss geht damit auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Rudy |
Ah hey cool danke!
Habs glaub verstanden. Weil ein [mm] \mu [/mm] ungleich 0 ist, haben wir einen Wiederspruch zur Annahme, dass alle [mm] \lambda [/mm] ungleich 0 sind. daher müssen die Vektoren l.u. gewesen sein.
Ich schau mir nach dem Mittagessen die 3 nochmal an, ob ich da auch so ansetzen kann.
Danke dir =)
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