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lineare Unabhängigkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 So 01.11.2015
Autor: Audin

Aufgabe
Sei X ein affiner Raum und M\subseteq X eine Teilmenge X. Zeigen Sie:
Ist für ein A\in M die Menge \Phi_{A} (M\setminus \{A\} )=\{\overrightarrow{AC}|\,A\not=C\in M \}\subseteq V_{X}   \mathbb{K} - linear unabhängig, so ist die Menge \Phi_{B} (M\setminus \{B\} )=\{\overrightarrow{BC}|\,B\not=C\in M \}\subseteq V_{X}   \mathbb{K} - linear unabhängig für alle B\in M.


Halloe liebe Mathefreunde.
Irgendwie bereitet mir dieser Beweis ziemliche schwierigkeiten.
Vom direkten Beweis bis zum konstruieren von Widersprüchen habe ich alles einmal durchprobiert.

Ich habe meist probiert, [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] irgendwie mithilfe der [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] auszudrücken und so letztendlich die lineareunabhängigkeit auszunutzen.

Sei [mm] A,B,C\in [/mm] M.

  [mm] \sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{BC_i} [/mm]  = [mm] \sum_{i=1}^r \mu_i (\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC_i}) [/mm]   = [mm] \sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{BA} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{AC_i} [/mm]  


Dies schien mir aber nicht wirklich zielführend.
Ich habe dann probiert irgendwie einen Widerspruch herbeizuführen, da kam ich jedoch auch zu keinem Zufriedenstellenden Ergebnis.

Kann mir vll. jemand einen kleinen tipp geben.
Ich denke schon seit Tagen über die Aufgabe nach und ich komme einfach nicht weiter.
        
Bezug
lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Mo 02.11.2015
Autor: angela.h.b.


> Sei X ein affiner Raum und M\subseteq X eine Teilmenge X.
> Zeigen Sie:
>  Ist für ein A\in M die Menge \Phi_{A} (M\setminus \{A\} )=\{\overrightarrow{AC}|\,A\not=C\in M \}\subseteq V_{X}
>  \mathbb{K} - linear unabhängig, so ist die Menge \Phi_{B} (M\setminus \{B\} )=\{\overrightarrow{BC}|\,B\not=C\in M \}\subseteq V_{X}
>  \mathbb{K} - linear unabhängig für alle B\in M.
>  
> Halloe liebe Mathefreunde.
>  Irgendwie bereitet mir dieser Beweis ziemliche
> schwierigkeiten.
>  Vom direkten Beweis bis zum konstruieren von
> Widersprüchen habe ich alles einmal durchprobiert.
>  
> Ich habe meist probiert, [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] irgendwie
> mithilfe der [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] auszudrücken und so
> letztendlich die lineareunabhängigkeit auszunutzen.

Hallo,

ich glaube, Du bist gar nicht auf einem schlechten Weg.
>  
> Sei [mm]A,B, > C_1,...,C_r > \in[/mm] M

mit [mm] C_i\not=B [/mm] f.a. i

und sei

[mm] \overrightarrow{0}= [/mm]
> [mm]\sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{BC_i}[/mm]  = [mm]\sum_{i=1}^r \mu_i (\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC_i})[/mm]
>   = [mm]\sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{BA}[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{AC_i}[/mm]

[mm] =(\sum_{i=1}^r \mu_i)\overrightarrow{BA}+\sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{AC_i} [/mm]

[mm] =(-\sum_{i=1}^r \mu_i)\overrightarrow{AB}+\sum_{i=1}^r \mu_i \overrightarrow{AC_i} [/mm]

1. Fall: [mm] C_i\not=A [/mm] f.a. i

Nach Voraussetzung ist dann [mm] (-\sum_{i=1}^r \mu_i)=0 [/mm] und [mm] \mu_1=...=\mu_r=0, [/mm]
also...

2. Fall: Es ist etwa [mm] C_r=A. [/mm]

Dann ist [mm] \overrightarrow{0}=(-\sum_{i=1}^r \mu_i)\overrightarrow{AB}+\sum_{i=1}^{r-1} \mu_i \overrightarrow{AC_i}, [/mm]

und nach Voraussetzung folgt  [mm] (-\sum_{i=1}^r \mu_i)=0 [/mm] und [mm] \mu_1=...=\mu_{r-1}=0, [/mm]
also...

LG Angela


>  
>
>
> Dies schien mir aber nicht wirklich zielführend.
> Ich habe dann probiert irgendwie einen Widerspruch
> herbeizuführen, da kam ich jedoch auch zu keinem
> Zufriedenstellenden Ergebnis.
>  
> Kann mir vll. jemand einen kleinen tipp geben.
>  Ich denke schon seit Tagen über die Aufgabe nach und ich
> komme einfach nicht weiter.

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