Forum "Partielle Differentialgleichungen" - lineare Dgl 1ter Ordnung - Vorkurse

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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - lineare Dgl 1ter Ordnung

lineare Dgl 1ter Ordnung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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lineare Dgl 1ter Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:53 Sa 11.09.2010
Autor:	giga1111

Aufgabe

 [mm] xy'+2y=x^{1/3} [/mm] 

Hallo,

wäre super wenn Ihr mir helfen könntet.
bestimmen von y bei dem Punkt (1/1)

[mm] xy'+2y=x^{1/3} [/mm]

hommogene DG:

x*{dx/dy}+2y=0
-dy/dx=-2y/x
y=C/2x

stimmt die hommogene Lösung?

Gruß
Giga

ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:00 Sa 11.09.2010
Autor:	MathePower

Hallo Giga1111,

> [mm]xy'+2y=x^{1/3}[/mm]
>  Hallo,
>
> wäre super wenn Ihr mir helfen könntet.
>  bestimmen von y bei dem Punkt (1/1)
>
> [mm]xy'+2y=x^{1/3}[/mm]
>
> hommogene DG:
>
> x*{dx/dy}+2y=0
> -dy/dx=-2y/x
>  y=C/2x
>
> stimmt die hommogene Lösung?

Leider nein.

>
> Gruß
> Giga
>
>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruss
MathePower

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	01:36 So 12.09.2010
Autor:	giga1111

Hallo Giga1111,

> $ [mm] xy'+2y=x^{1/3} [/mm] $
>  Hallo,
>
> wäre super wenn Ihr mir helfen könntet.
>  bestimmen von y bei dem Punkt (1/1)
>
> $ [mm] xy'+2y=x^{1/3} [/mm] $
>
> hommogene DG:
>
> x*{dx/dy}+2y=0
> -dy/dx=-2y/x
>  y=C/2x
>
> stimmt die hommogene Lösung?

Leider nein.

>
> Gruß
> Giga
>

>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruss
MathePower

okay, danke

hab nochmal nachgerechnet,
sollte eigentlich

[mm] y(h)=C/x^2 [/mm]

heißen. Glaube ich...??
mache für heute Schluss.
Vielen dank für Eure Hilfe,
mache dann morgen wieder weiter.

Gruß
Giga

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: besser

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	03:32 So 12.09.2010
Autor:	Loddar

Hallo giga!

>  sollte eigentlich
>
> [mm]y(h)=C/x^2[/mm]
>
> heißen.

Das sieht besser aus ...

Gruß
Loddar

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:37 So 12.09.2010
Autor:	giga1111

So jetzt bin ich wieder da.

ich hab also die inhommogene Gleichung
$ [mm] xy'+2y=x^{1/3}$ [/mm]
mit der hommogenen Lösung
[mm] y(h)=\bruch{C}{x^2} [/mm]

jetzt bestimme ich die partikuläre Lösung

[mm] y(p)=C(x)*x^{-2} [/mm]
[mm] y'(p)=C'(x)*x^{-2}+C(x)*-2x^{-3} [/mm]

einsetzen in inhommogeneDG:
[mm] C'(x)*x^{-2}+C(x)*-2x^{-3}+\bruch{3}{4}*\left( C(x)*x^{-2} \right) =x^{1/3} [/mm]

[mm] C'(x)*x^{-2}=x^{1/3} [/mm]
[mm] C'(x)=x^{7/3} [/mm]
[mm] C(x)=\bruch{3x^{10/3}}{10} [/mm]

[mm] y(p)=\bruch{3x^{10/3}}{10}*x^{-2} [/mm]

Jetzt müsste ich die allgemeine Lösung bestimmen können mit

y=y(p)+y(h)

[mm] y=\bruch{3x^{10/3}}{10}*x^{-2}+C(x)*x^{-2} [/mm]

[mm] y=x^{-2}*\left( \bruch{3x^{10/3}}{10}+C(x)\right) [/mm]

stimmt das soweit, oder hab ich schon wieder einen Fehler eingebaut?
Vielen Dank jetzt schon für Eure Hilfe.

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:05 So 12.09.2010
Autor:	schachuzipus

Hallo giga111,

> So jetzt bin ich wieder da.
>
> ich hab also die inhommogene Gleichung
>  [mm]xy'+2y=x^{1/3}[/mm]
>  mit der hommogenen Lösung
>   [mm]y(h)=\bruch{C}{x^2}[/mm]

>
> jetzt bestimme ich die partikuläre Lösung
>
> [mm]y(p)=C(x)*x^{-2}[/mm]
> [mm]y'(p)=C'(x)*x^{-2}+C(x)*-2x^{-3}[/mm]

>
> einsetzen in inhommogeneDG:

Das heißt (in)homogen mit einem "m"

Du vergleichst mit der Ausgangsdgl:

Die lautet [mm]xy'+2y=x^{\frac{1}{3}}[/mm] bzw. für [mm]x\neq 0[/mm]

[mm]y'=-\frac{2y}{x}+x^{-\frac{2}{3}}[/mm]

Dort setzt du nun die obige Lösung ein für y:

[mm]y'=-\frac{2\frac{c(x)}{x^2}}{x}+x^{-\frac{2}{3}}[/mm]

Und das ist nach deiner obigen Rechnung [mm]\ldots=c'(x)x^{-2}-2c(x)x^{-3}[/mm]

Also [mm]\red{-2\frac{c(x)}{x^3}}+x^{-\frac{2}{3}}=c'(x)x^{-2}\red{-2c(x)x^{-3}}[/mm]

Damit [mm]c'(x)x^{-2}=x^{-\frac{2}{3}}[/mm], also [mm]c'(x)=x^{\frac{4}{3}}[/mm]

Nun nochmal zuende rechnen ...

>  [mm]C'(x)*x^{-2}+C(x)*-2x^{-3}+\bruch{3}{4}*\left( C(x)*x^{-2} \right) =x^{1/3}[/mm]
>
> [mm]C'(x)*x^{-2}=x^{1/3}[/mm]
>  [mm]C'(x)=x^{7/3}[/mm]

>  [mm]C(x)=\bruch{3x^{10/3}}{10}[/mm]
>
> [mm]y(p)=\bruch{3x^{10/3}}{10}*x^{-2}[/mm]

Nein, das ist leider immer noch nicht richtig!

>
> Jetzt müsste ich die allgemeine Lösung bestimmen können
> mit
>
> y=y(p)+y(h)
>
> [mm]y=\bruch{3x^{10/3}}{10}*x^{-2}+C(x)*x^{-2}[/mm]
>
> [mm]y=x^{-2}*\left( \bruch{3x^{10/3}}{10}+C(x)\right)[/mm]
>
> stimmt das soweit, oder hab ich schon wieder einen Fehler
> eingebaut?

Ja, leider!

>  Vielen Dank jetzt schon für Eure Hilfe.

Gruß

schachuzipus

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:10 So 12.09.2010
Autor:	giga1111

Hallo giga111,

> So jetzt bin ich wieder da.
>
> ich hab also die inhommogene Gleichung
>  $ [mm] xy'+2y=x^{1/3} [/mm] $
>  mit der hommogenen Lösung
>   $ [mm] y(h)=\bruch{C}{x^2} [/mm] $

>
> jetzt bestimme ich die partikuläre Lösung
>
> $ [mm] y(p)=C(x)\cdot{}x^{-2} [/mm] $
> $ [mm] y'(p)=C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3} [/mm] $

>
> einsetzen in inhommogeneDG:

Das heißt (in)homogen mit einem "m"

Du vergleichst mit der Ausgangsdgl:

Die lautet $ [mm] xy'+2y=x^{\frac{1}{3}} [/mm] $ bzw. für $ [mm] x\neq [/mm] 0 $

$ [mm] y'=-\frac{2y}{x}+x^{-\frac{2}{3}} [/mm] $

Dort setzt du nun die obige Lösung ein für y:

$ [mm] y'=-\frac{2\frac{c(x)}{x^2}}{x}+x^{-\frac{2}{3}} [/mm] $

Und das ist nach deiner obigen Rechnung $ [mm] \ldots=c'(x)x^{-2}-2c(x)x^{-3} [/mm] $

Also $ [mm] \red{-2\frac{c(x)}{x^3}}+x^{-\frac{2}{3}}=c'(x)x^{-2}\red{-2c(x)x^{-3}} [/mm] $

Damit $ [mm] c'(x)x^{-2}=x^{-\frac{2}{3}} [/mm] $, also $ [mm] c'(x)=x^{\frac{4}{3}} [/mm] $

Nun nochmal zuende rechnen ...

>  $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{1/3} [/mm] $
>
> $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}=x^{1/3} [/mm] $
>  $ [mm] C'(x)=x^{7/3} [/mm] $

>  $ [mm] C(x)=\bruch{3x^{10/3}}{10} [/mm] $
>
> $ [mm] y(p)=\bruch{3x^{10/3}}{10}\cdot{}x^{-2} [/mm] $

Nein, das ist leider immer noch nicht richtig!

>
> Jetzt müsste ich die allgemeine Lösung bestimmen können
> mit
>
> y=y(p)+y(h)
>
> $ [mm] y=\bruch{3x^{10/3}}{10}\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}x^{-2} [/mm] $
>
> $ [mm] y=x^{-2}\cdot{}\left( \bruch{3x^{10/3}}{10}+C(x)\right) [/mm] $
>
> stimmt das soweit, oder hab ich schon wieder einen Fehler
> eingebaut?

Ja, leider!

>  Vielen Dank jetzt schon für Eure Hilfe.

Gruß

schachuzipus

Hab meinen Fehler jetzt gefunden....

>  $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{1/3} [/mm] $

habe auch in die Anfangsgleichung eingesetzt, habe aber [mm] x^{1/3} [/mm] vergessen mit x zu dividieren (kopfschüttel)
Die Gleichung hätte lauten müssen

>  $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{-2/3} [/mm] $
>

dann ist

> $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}=x^{-2/3} [/mm] $
>  $ [mm] C'(x)=x^{4/3} [/mm] $

> $ [mm] C(x)=\bruch{3x^{7/3}}{7} [/mm] $

daraus folgt

[mm] y(p)=\bruch{3x^{7/3}}{7}*x^2 [/mm]

und die allgemeine Lösung müsste lauten

y=y(p)+y(h)

[mm] y=\bruch{3x^{7/3}}{7}*x^2+\bruch{C}{x^2} [/mm]

stimmt das jetzt?
sorry für das "m", steht in meinem Buch falsch drinnen.
Werde in Zukunft eine homogenere Schreibweise verwenden :-)

Rechne erst mal auf Papier weiter, da bin ich schneller.
Muss ja noch P(1/1) einsetzen für die Spezielle.
Du bist die oder der Beste
schachuzipus.

Gruß
giga

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:53 So 12.09.2010
Autor:	MathePower

Hallo giga1111,

>
>
> Hab meinen Fehler jetzt gefunden....
>
>
> >

> [mm]C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{1/3}[/mm]
>
>
> habe auch in die Anfangsgleichung eingesetzt, habe aber
> [mm]x^{1/3}[/mm] vergessen mit x zu dividieren (kopfschüttel)
>  Die Gleichung hätte lauten müssen
>
> >

> [mm]C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{-2/3}[/mm]
>
> >

> dann ist
>
> > [mm]C'(x)\cdot{}x^{-2}=x^{-2/3}[/mm]
>  >  [mm]C'(x)=x^{4/3}[/mm]

> > [mm]C(x)=\bruch{3x^{7/3}}{7}[/mm]
>

> daraus folgt
>
> [mm]y(p)=\bruch{3x^{7/3}}{7}*x^2[/mm]
>
> und die allgemeine Lösung müsste lauten
>
> y=y(p)+y(h)
>
> [mm]y=\bruch{3x^{7/3}}{7}*x^2+\bruch{C}{x^2}[/mm]

Das soll wohl eher so lauten:

[mm]y=\bruch{3x^{7/3}}{{7}*x^{2}}+\bruch{C}{x^{2}}[/mm]

>
> stimmt das jetzt?
>  sorry für das "m", steht in meinem Buch falsch drinnen.
>  Werde in Zukunft eine homogenere Schreibweise
> verwenden :-)

>
> Rechne erst mal auf Papier weiter, da bin ich schneller.
>  Muss ja noch P(1/1) einsetzen für die Spezielle.
>  Du bist die oder der Beste
> schachuzipus.
>
> Gruß
>  giga
>
>

Gruss
MathePower

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:00 So 12.09.2010
Autor:	giga1111

Hallo giga1111,

>

>
> Hab meinen Fehler jetzt gefunden....
>

>
> >

> $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{1/3} [/mm] $
>

>
> habe auch in die Anfangsgleichung eingesetzt, habe aber
> $ [mm] x^{1/3} [/mm] $ vergessen mit x zu dividieren (kopfschüttel)
>  Die Gleichung hätte lauten müssen
>
> >

> $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{-2/3} [/mm] $
>
> >

> dann ist
>
> > $ [mm] C'(x)\cdot{}x^{-2}=x^{-2/3} [/mm] $
>  >  $ [mm] C'(x)=x^{4/3} [/mm] $

> > $ [mm] C(x)=\bruch{3x^{7/3}}{7} [/mm] $
>

> daraus folgt
>
> $ [mm] y(p)=\bruch{3x^{7/3}}{7}\cdot{}x^2 [/mm] $
>
> und die allgemeine Lösung müsste lauten
>
> y=y(p)+y(h)
>
> $ [mm] y=\bruch{3x^{7/3}}{7}\cdot{}x^2+\bruch{C}{x^2} [/mm] $

Das soll wohl eher so lauten:

$ [mm] y=\bruch{3x^{7/3}}{{7}\cdot{}x^{2}}+\bruch{C}{x^{2}} [/mm] $

ja natürlich, habe mich mal wieder vertippt ;-)

habe jetzt für die spezielle DG P(1/1) eingesetzt
und für C= [mm] \bruch{4}{7} [/mm] herausbekommen.

Das Ergebnis wäre dann

y= [mm] \bruch{4}{7}*(3*x^{1/3}+\bruch{4}{x^2}) [/mm]

stimmt das jetzt?

Gruß
giga

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	21:12 So 12.09.2010
Autor:	giga1111

Habe alles nochmal durchgeschaut,
beim Einsetzen der partikulären Lösung in die Anfangsgleichung habe ich statt dem Faktor
[mm] \bruch{2}{x} [/mm] blöderweise [mm] \bruch{3}{4} [/mm] getippt.
Das eintippen macht mir noch ziemliche Schwierigkeiten.

Gruß
giga

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:13 So 12.09.2010
Autor:	MathePower

Hallo giga1111,

> Hallo giga1111,
>
> >

> >
>  > Hab meinen Fehler jetzt gefunden....

>  >
> >
>  > >

>
> >
> [mm]C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{1/3}[/mm]
>
> >

> >
>  > habe auch in die Anfangsgleichung eingesetzt, habe aber

>  > [mm]x^{1/3}[/mm] vergessen mit x zu dividieren (kopfschüttel)

>  >  Die Gleichung hätte lauten müssen
>  >
> > >

>
> >
> [mm]C'(x)\cdot{}x^{-2}+C(x)\cdot{}-2x^{-3}+\bruch{3}{4}\cdot{}\left( C(x)\cdot{}x^{-2} \right) =x^{-2/3}[/mm]
>
> >

> > >

>
> > dann ist
>  >
> > > [mm]C'(x)\cdot{}x^{-2}=x^{-2/3}[/mm]
>  >  >  [mm]C'(x)=x^{4/3}[/mm]

> > > [mm]C(x)=\bruch{3x^{7/3}}{7}[/mm]
> >
>
>
>

>
>
> > daraus folgt
>  >
> > [mm]y(p)=\bruch{3x^{7/3}}{7}\cdot{}x^2[/mm]
>  >
> > und die allgemeine Lösung müsste lauten
>  >
> > y=y(p)+y(h)
>  >
> > [mm]y=\bruch{3x^{7/3}}{7}\cdot{}x^2+\bruch{C}{x^2}[/mm]
>
>
> Das soll wohl eher so lauten:
>
> [mm]y=\bruch{3x^{7/3}}{{7}\cdot{}x^{2}}+\bruch{C}{x^{2}}[/mm]
>
>
> ja natürlich, habe mich mal wieder vertippt ;-)

>
> habe jetzt für die spezielle DG P(1/1) eingesetzt
>  und für C= [mm]\bruch{4}{7}[/mm] herausbekommen.
>
> Das Ergebnis wäre dann
>
> y= [mm]\bruch{4}{7}*(3*x^{1/3}+\bruch{4}{x^2})[/mm]

Da hast Du Dich bestimmt wieder vertippt:

[mm]y=\bruch{\red{1}}{7}*(3*x^{1/3}+\bruch{4}{x^2})[/mm]

>
> stimmt das jetzt?

Mit der angebrachten Korrektur, ja.


> Gruß
>  giga

Gruss
MathePower

Bezug

lineare Dgl 1ter Ordnung: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	21:20 So 12.09.2010
Autor:	giga1111

Vielen Dank!!!!
Ihr habt mir sehr geholfen :-)

Hab leider noch große Schwierigkeiten mit dem Eingeben.
Gruß
giga

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

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