lineare DGl 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Lineare DGL 2. Ordnung:
y"-5y'+6y=e^(-2x) |
Hallo,
ich möchte diese DGL in ein DGL System 1. Ordnung umwandeln. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wieviele Gleichungen ich erhalte.
Mein bisheriges Vorgehen:
Substituieren:
z1=y
z1'=y'=1/5y"+6/5y-1/5e^(-2x)=1/5z2+6/5z1-1/5e^(-2x)
z2=y'
z2'=y''=5z2-6z1+e^(-2x)
z3=y"
Daraus folgt das DGLSystem:
z1' = 1/5z2+6/5z1-1/5e^(-2x)
z2' 5z2-6z1+e^(-2x)
als Matrix, also A ist eine Matriz mit konstanten Koeff.
Das System könnte ich also mit Berechnen von EW und EV usw berechnen.
Aber fehlen da nicht nicht Gleichungen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Katrin89,
> Lineare DGL 2. Ordnung:
> y"-5y'+6y=e^(-2x)
> Hallo,
> ich möchte diese DGL in ein DGL System 1. Ordnung
> umwandeln. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wieviele
> Gleichungen ich erhalte.
Du erhältst hier 2 Gleichungen,
da es sich um eine DGL 2. Ordunung handelt.
> Mein bisheriges Vorgehen:
> Substituieren:
> z1=y
> z1'=y'=1/5y"+6/5y-1/5e^(-2x)=1/5z2+6/5z1-1/5e^(-2x)
> z2=y'
> z2'=y''=5z2-6z1+e^(-2x)
> z3=y"
>
> Daraus folgt das DGLSystem:
> z1' = 1/5z2+6/5z1-1/5e^(-2x)
> z2' 5z2-6z1+e^(-2x)
Die letzte Gleichung ist richtig.
Für die erste Gleichung gilt ja:
[mm]z_{1}'=y'=z_{2}[/mm]
Daher lautet diese erste Gleichung: [mm]z_{1}'=z_{2}[/mm]
Insgesamt also:
[mm]z_{1}' = z_{2}[/mm]
[mm]z_{2}' = 5z_{2}-6z_{1}+e^{-2x}[/mm]
In Matrixschreibweise:
[mm]\pmat{z_{1}' \\ z_{2}'}=\pmat{0 & 1 \\ -6 & 5}\pmat{z_{1} \\ z_{2}}+\pmat{0 \\ e^{-2x}}[/mm]
> als Matrix, also A ist eine Matriz mit konstanten Koeff.
> Das System könnte ich also mit Berechnen von EW und EV usw
> berechnen.
> Aber fehlen da nicht nicht Gleichungen?
Nein.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort. Habe es verstanden.
Dies ist ja nun ein inhomogenes DGL-System mit konstanten Koeff., dass ich über VdK lösen kann. Ist die Lösung dieses System dann auch meine Lösung für die obige Gleichung? Oder muss ich dann noch resubstituieren?
|
|
|
| |
|
Hallo Katrin89,
> Hallo Mathepower,
> danke für deine Antwort. Habe es verstanden.
> Dies ist ja nun ein inhomogenes DGL-System mit konstanten
> Koeff., dass ich über VdK lösen kann. Ist die Lösung
> dieses System dann auch meine Lösung für die obige
> Gleichung? Oder muss ich dann noch resubstituieren?
Da die DGL 2. Ordnung in ein System von DGLn 1. Ordnung
umgewandelt worden ist, erhält man für dieses System
Lösungen für [mm]z_{1}, \ z_{2}[/mm].
Die Lösung für [mm]z_{1}[/mm] entspricht der Lösung der DGL 2. Ordnung.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort, du bist mir eine große Hilfe (dient auch schon der Klausurvorbereitung).
Woher weiß ich denn, das z1 die Lösung der DGL ist? Woran kann ich das allgemein sehen?
|
|
|
| |
|
Hallo Katrin89,
> Hallo Mathepower,
> danke für deine Antwort, du bist mir eine große Hilfe
> (dient auch schon der Klausurvorbereitung).
> Woher weiß ich denn, das z1 die Lösung der DGL ist? Woran
> kann ich das allgemein sehen?
An der Substitution, die Du gewählt hast.
Hier hast Du die Substitution [mm]z_{1}=y[/mm] gewählt,
wobei y die Lösung der DGL 2. Ordnung ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 31.01.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Ja, das macht Sinn 
Dankeschön.
|
|
|
|
