lineare DGL 4. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 22.03.2011 | | Autor: | cr42 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung der linearen DGL
[mm] y^{(IV)}-y^{III}-2y^{II}+6y^{I}-4 [/mm] = 0
mit [mm] y(0)=y^{I}(0)=y^{II}(0)=0 [/mm] und [mm] y^{III}(0)=10
[/mm]
Hinweis: Zwei Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind 1 und -2. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe habe ich aus einer alten Klausur. Der umgerechnete Zeitaufwand beträgt 20-25 Minuten. BWL-Klausur, 2. Semester.
Zunächst habe ich nach dem Hinweis eine Polynomdivision gemacht und als weitere Nullstellen 1-i und 1+i berechnet.
Damit habe ich vier Nullstellen und kann folgende Form aufschreiben:
y(x) = [mm] a_{0} e^{-2x} [/mm] + [mm] a_{1} e^{x} [/mm] + [mm] a_{2} e^{(1-i)x} [/mm] + [mm] a_{3} e^{(1+i)x}
[/mm]
Diese Funktion habe ich dann drei mal abgeleitet und dann ein Gleichungssystem aus diesen vier Funktionen aufgestellt mit den Ergebnissen aus der Aufgabenstellung(0,0,0,10).
Dieses habe ich wiederum aufgelöst und raus bekommen, dass
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + 2i
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] - 2i
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{9}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}i
[/mm]
gilt.
Die Werte für [mm] a_{0-3} [/mm] habe ich dann in y(x) eigesetzt und das als Lösung verstanden.
Nun meine Frage: Ist das Vorgehen (und die Lösung) korrekt? Kann man schneller zum Ergebnis kommen? Denn, um das ganze Gleichungssystem aufzuschreiben und durchzurechnen habe ich sehr lange gebraucht. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das so vorgesehen war.
In meiner AG hatten wir leider nur DGLen bis zur 2. Ordnung.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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Hallo cr42,
> Berechnen Sie die Lösung der linearen DGL
> [mm]y^{(IV)}-y^{III}-2y^{II}+6y^{I}-4[/mm] = 0
> mit [mm]y(0)=y^{I}(0)=y^{II}(0)=0[/mm] und [mm]y^{III}(0)=10[/mm]
> Hinweis: Zwei Nullstellen der charakteristischen Gleichung
> sind 1 und -2.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Aufgabe habe ich aus einer alten Klausur. Der
> umgerechnete Zeitaufwand beträgt 20-25 Minuten.
> BWL-Klausur, 2. Semester.
>
> Zunächst habe ich nach dem Hinweis eine Polynomdivision
> gemacht und als weitere Nullstellen 1-i und 1+i berechnet.
>
> Damit habe ich vier Nullstellen und kann folgende Form
> aufschreiben:
>
> y(x) = [mm]a_{0} e^{-2x}[/mm] + [mm]a_{1} e^{x}[/mm] + [mm]a_{2} e^{(1-i)x}[/mm] +
> [mm]a_{3} e^{(1+i)x}[/mm]
>
> Diese Funktion habe ich dann drei mal abgeleitet und dann
> ein Gleichungssystem aus diesen vier Funktionen aufgestellt
> mit den Ergebnissen aus der Aufgabenstellung(0,0,0,10).
>
> Dieses habe ich wiederum aufgelöst und raus bekommen, dass
> [mm]a_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + 2i
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{8}{3}[/mm] - 2i
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{9}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}i[/mm]
> [mm]a_{3}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}i[/mm]
> gilt.
Diese Lösung stimmt nicht.
>
> Die Werte für [mm]a_{0-3}[/mm] habe ich dann in y(x) eigesetzt und
> das als Lösung verstanden.
>
> Nun meine Frage: Ist das Vorgehen (und die Lösung)
> korrekt? Kann man schneller zum Ergebnis kommen? Denn, um
> das ganze Gleichungssystem aufzuschreiben und
> durchzurechnen habe ich sehr lange gebraucht. Ich kann mir
> nicht vorstellen, dass das so vorgesehen war.
Es wird etwas leichter, wenn Du als allgemeine Lösung
[mm]y(x) = k_{0} e^{-2x} + k_{1} e^{x} + k_{2} e^{x}*\sin\left(x\right) + k_{3} e^{x}*\cos\left(x\right)[/mm]
nimmst.
Damit hast Du nur reelle Koeffizienten
in dem zu lösenden Gleichungssystem.
>
> In meiner AG hatten wir leider nur DGLen bis zur 2.
> Ordnung.
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 22.03.2011 | | Autor: | cr42 |
Vielen Dank schonmal für den Hinweis.
Kannst du mir dazu noch erläutern, wie ich auf sin(x) und cos(x) komme?
Ich habe doch als Nullstellen (1+i) und (1-i). Müsste dann nicht bei beiden [mm] k_{2-3} [/mm] jeweils sin(x) und cos(x) vorkommen, da doch [mm] e^{(1+i)x} [/mm] und [mm] e^{(1-i)x} [/mm] stimmen, oder nicht?
Ich dachte bspw. so:
[mm] e^{(1+i)x} [/mm] = [mm] e^{x+ix} [/mm] = [mm] e^{x} e^{ix} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] (cos(x) + i sin(x))
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Hallo cr42,
> Vielen Dank schonmal für den Hinweis.
>
> Kannst du mir dazu noch erläutern, wie ich auf sin(x) und
> cos(x) komme?
> Ich habe doch als Nullstellen (1+i) und (1-i). Müsste dann
> nicht bei beiden [mm]k_{2-3}[/mm] jeweils sin(x) und cos(x)
> vorkommen, da doch [mm]e^{(1+i)x}[/mm] und [mm]e^{(1-i)x}[/mm] stimmen, oder
> nicht?
>
> Ich dachte bspw. so:
> [mm]e^{(1+i)x}[/mm] = [mm]e^{x+ix}[/mm] = [mm]e^{x} e^{ix}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] (cos(x) + i
> sin(x))
Genau so meinte ich das auch.
Aus der komplexen Lösung kannst Du durch geschickte
Wahl der Konstanten [mm]a_{2}, \ a_{3}[/mm] eine reelle Lösung machen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 22.03.2011 | | Autor: | cr42 |
> Aus der komplexen Lösung kannst Du durch geschickte
> Wahl der Konstanten [mm]a_{2}, \ a_{3}[/mm] eine reelle Lösung
> machen.
Ich dachte, ich muss die Konstanten durch das Gleichungssystem ausrechnen und kann sie nicht wählen?
Dennoch verstehe ich die Umformung, die du in der ersten Antwort gegeben hast, nicht:
ich hatte:
[mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} e^{(1-i)x} + a_{3} e^{(1+i)x}[/mm]
Dieses kann ich umformen zu:
[mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} \bruch{e^{x}}{\cos(x)+i \sin(x)} + a_{3} e^{x}*(\cos(x)+i \sin(x))[/mm]
Du hast aber eine viel einfachere Form gepostet:
[mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} e^{x}*\sin(x) + a_{3} e^{x}*\cos(x)[/mm]
Kannst du mir sagen, wie ich von meiner Umformung zu deinem Ergebnis komme?
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Hallo cr42,
> > Aus der komplexen Lösung kannst Du durch geschickte
> > Wahl der Konstanten [mm]a_{2}, \ a_{3}[/mm] eine reelle Lösung
> > machen.
>
> Ich dachte, ich muss die Konstanten durch das
> Gleichungssystem ausrechnen und kann sie nicht wählen?
Ich rede hier von der allgemeinen Lösung, die Du
aus der DGL erhalten hast.
Nun, die Wahl, die ich meine. ist unabhängig von den Anfangsbedingungen.
>
> Dennoch verstehe ich die Umformung, die du in der ersten
> Antwort gegeben hast, nicht:
>
> ich hatte:
> [mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} e^{(1-i)x} + a_{3} e^{(1+i)x}[/mm]
>
> Dieses kann ich umformen zu:
> [mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} \bruch{e^{x}}{\cos(x)+i \sin(x)} + a_{3} e^{x}*(\cos(x)+i \sin(x))[/mm]
>
> Du hast aber eine viel einfachere Form gepostet:
> [mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} e^{x}*\sin(x) + a_{3} e^{x}*\cos(x)[/mm]
>
> Kannst du mir sagen, wie ich von meiner Umformung zu deinem
> Ergebnis komme?
Wähle [mm]a_{2}=k_{2}-i*k_{3}, \ a_{3}=k_{2}+i*k_{3}, k_{2}, .\ k_{3} \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 23.03.2011 | | Autor: | cr42 |
Nach weiterer Recherche, bin ich noch auf folgende Umformung gestoßen:
![[]](/images/popup.gif) http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img1793.gif
Hier werden am Ende die beiden Konstanten (inkl. einmal i) zu einer Konstanten zusammengefasst. Für mein Beispiel heißt das ([mm]a_{0} und a_{1} nicht betrachtet[/mm]):
[mm]k_{2} e^{x}*e^{-ix} + k_{3} e^{x}*e^{ix}[/mm]
[mm]= e^{x} (k_{2}*e^{-ix} + k_{3}*e^{ix})[/mm]
[mm]= e^{x} (k_{2}(\cos(x) - i \sin(x)) + k_{3}(\cos(x) + i \sin(x)))[/mm]
[mm]= e^{x} (k_{2} \cos(x) - k_{2} i \sin(x) + k_{3} \cos(x) + k_{3} i \sin(x))[/mm]
[mm]= e^{x} ((k_{2} + k_{3}) \cos(x) + (- k_{2} + k_{3}) i \sin(x))[/mm]
sei [mm]a_{2} = (k_{2} + k_{3})[/mm] und [mm]a_{3} = (- k_{2} + k_{3}) i[/mm]
[mm]=> a_{2} e^{x}*\cos(x) + a_{3} e^{x}*\sin(x)[/mm]
Wieso ich das machen kann, weiß ich nicht, aber ich kann es auf meine Aufgabe anwenden und erhalte damit insgesamt:
[mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} e^{x}*\cos(x) + a_{3} e^{x}*\sin(x)[/mm]
Mit weiterem Vorgehen (wie im ersten Posting beschrieben: Ableiten, Gleichungssystem) komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm]a_{0} = -\bruch{1}{3}, a_{1} = \bruch{10}{3}, a_{2} = -3, a_{3} = -1[/mm]
Ist das richtig? Wie kann ich mein Ergebnis prüfen?
Ich kann mir nicht vorstellen, diese Aufgabe in 25 Minuten zu lösen...
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Hallo cr42,
> Nach weiterer Recherche, bin ich noch auf folgende
> Umformung gestoßen:
> http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img1793.gif
>
> Hier werden am Ende die beiden Konstanten (inkl. einmal i)
> zu einer Konstanten zusammengefasst. Für mein Beispiel
> heißt das ([mm]a_{0} und a_{1} nicht betrachtet[/mm]):
> [mm]k_{2} e^{x}*e^{-ix} + k_{3} e^{x}*e^{ix}[/mm]
>
> [mm]= e^{x} (k_{2}*e^{-ix} + k_{3}*e^{ix})[/mm]
> [mm]= e^{x} (k_{2}(\cos(x) - i \sin(x)) + k_{3}(\cos(x) + i \sin(x)))[/mm]
>
> [mm]= e^{x} (k_{2} \cos(x) - k_{2} i \sin(x) + k_{3} \cos(x) + k_{3} i \sin(x))[/mm]
>
> [mm]= e^{x} ((k_{2} + k_{3}) \cos(x) + (- k_{2} + k_{3}) i \sin(x))[/mm]
>
> sei [mm]a_{2} = (k_{2} + k_{3})[/mm] und [mm]a_{3} = (- k_{2} + k_{3}) i[/mm]
>
> [mm]=> a_{2} e^{x}*\cos(x) + a_{3} e^{x}*\sin(x)[/mm]
>
>
> Wieso ich das machen kann, weiß ich nicht, aber ich kann
> es auf meine Aufgabe anwenden und erhalte damit insgesamt:
Um aus der komplexen Lösung eine reelle Lösung zu erhalten.
>
> [mm]y(x) = a_{0} e^{-2x} + a_{1} e^{x} + a_{2} e^{x}*\cos(x) + a_{3} e^{x}*\sin(x)[/mm]
>
> Mit weiterem Vorgehen (wie im ersten Posting beschrieben:
> Ableiten, Gleichungssystem) komme ich auf folgendes
> Ergebnis:
> [mm]a_{0} = -\bruch{1}{3}, a_{1} = \bruch{10}{3}, a_{2} = -3, a_{3} = -1[/mm]
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ist das richtig? Wie kann ich mein Ergebnis prüfen?
> Ich kann mir nicht vorstellen, diese Aufgabe in 25 Minuten
> zu lösen...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Mi 23.03.2011 | | Autor: | cr42 |
Vielen Dank für deine Bemühungen. Das hat mich voran gebracht :)
Kann geschlossen werden.
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![[]](http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img1793.gif){kind=small}
http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img1793.gif