lineare DGL 2. Odnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 02.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
Hallo an alle!
Ich habe hier mal wieder ein Problem mit einer Differentialgeleichung und zwar geht es um eine lineare DGL zweiter Ordnung der Form
u''+au'+bu=0
mit Anfangswerten [mm] u(0)=u_{0}, u'(0)=\overline{u}_{0} [/mm] .
Über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms weiß man, dass
[mm] \lambda_{1}<0, \lambda_{2}=0.
[/mm]
Jetzt soll man angeben, welche Beziehung zwischen [mm] u_{0} [/mm] und [mm] \overline{u}_{0} [/mm] bestehen muss, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}u(t)=0.
[/mm]
Also die Lösung ist ja von der Form [mm] u(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t} [/mm] .
Und da [mm] \lambda_{2}=0, [/mm] muss der erste Term gegen [mm] -C_{2} [/mm] gehen.
Aber wann das der Fall ist, und wie dann die Beziehung der Lösungen aussieht, erkenne ich im Moment nicht.
Hat vielleicht jemand einen Tip?
Gruß und danke, Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Do 03.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die allg. Lösung sieht also so aus:
$ [mm] u(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2} [/mm] $
Da [mm] \lambda_{1} [/mm] < 0, strebt u gegen [mm] C_{2} [/mm] für t gegen unendlich.
Folglich muß [mm] C_{2} [/mm] = 0 sein.
Also $ [mm] u(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t} [/mm] $, somit
$ [mm] u'(t)=C_{1}\lambda_{1}e^{\lambda_{1}t} [/mm] $
Jetzt setze t = 0 in u und u', und Du erhälst das was Du suchst.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Do 03.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
Ok, demnach muss also [mm] u_{0}=\overline{u}_{0}.
[/mm]
Danke für die Hilfe!
Gruß,
Timo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 03.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein! Rechne nochmal nach.
Ich habe
$ [mm] \lambda_{1}u_{0}=\overline{u}_{0}. [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Do 03.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
Oh, stimmt natürlich. Danke für den Hinweis!
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