lineare Approximation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Do 16.09.2004 | | Autor: | flyyy |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo zusammen
ich bin am lernen auf eine Prüfung und habe noch einige Unklarheiten :-(
zum Beispiel lineare Approximation
V Vektorraum, W Unterraum von V
v ist Element on V
bestimme einen Vektor w*, so dass
Norm(v-w*) [mm] \le [/mm] Norm(v-w) für alle w Element von W
ich habe da eine Formel, bezweifle aber, dass die richtig ist
w* = [mm] \sum_{k=1}^{N} \left\langle v, w^k \right\rangle [/mm] * [mm] w^k [/mm]
wenn ich zum v = (4,1) und W = (2,-1)*t, dann väre doch w = (2,-1) doch gerade Basis von W?
dann hätte ich (eingesetzt in Formel)
w* = ((4*1)+(2*-1)) * (2,-1)
also 7 * (2, -1) = (28, -14)
und das liegt sicher nicht am nächsten be (4,1)
wer kann mir den Fehler zeigen und eventuell eini weitere Aufgabe der Art stellen, damit ich nochmals üben kann?
Vielen Dank
Christina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 16.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo flyyy
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> Hallo zusammen
> ich bin am lernen auf eine Prüfung und habe noch einige
> Unklarheiten :-(
> zum Beispiel lineare Approximation
> V Vektorraum, W Unterraum von V
> v ist Element on V
> bestimme einen Vektor w*, so dass
> Norm(v-w*) [mm]\le [/mm] Norm(v-w) für alle w Element von W
>
> ich habe da eine Formel, bezweifle aber, dass die richtig
> ist
>
> w* = [mm]\sum_{k=1}^{N} \left\langle v, w^k \right\rangle [/mm] *
> [mm]w^k [/mm]
>
Ich muss leider, da ich meine Unterlagen zur Zeit nicht gerade greifbar habe, aus dem Kopf heraus antworten.
Diese Formel stimmt nur, wenn die Basisvektoren des Unterraumes eine Orthonormalbasis bilden! Schau das bitte in deinen Unterlagen nochmals nach, denn, wie gesagt, im Moment habe ich keine Unterlagen bei mir, ist also alles, was ich sage, mit Vorsicht zu geniessen! 
> wenn ich zum v = (4,1) und W = (2,-1)*t, dann väre doch w =
> (2,-1) doch gerade Basis von W?
>
Hier müsstest du also den Vektor (2,-1) noch normalisieren, der sähe dann wohl so aus:
[mm] $w_{1}= (\bruch{2}{\wurzel{5}},\bruch{-1}{\wurzel{5}})$
[/mm]
> dann hätte ich (eingesetzt in Formel)
>
> w* = ((4*1)+(2*-1)) * (2,-1)
?? ist mir unklar, aber wohl nur ein verschreiber deinerseits.
> also 7 * (2, -1) = (28, -14)
?? Seit wann gibt $7*2=28$ und $7*(-1)=-14$ ?
Das gäbe dannfolgende Rechning:
[mm] $(4,1)*(\bruch{2}{\wurzel{5}},\bruch{-1}{\wurzel{5}})=\bruch{8}{\wurzel{5}}-\bruch{1}{\wurzel{5}}=\bruch{7}{\wurzel{5}}$
[/mm]
Und somit:
[mm] $w^{\ast}=\bruch{7}{\wurzel{5}}*(\bruch{2}{\wurzel{5}},\bruch{-1}{\wurzel{5}})=(\bruch{14}{5},\bruch{-7}{5})$
[/mm]
Das sieht nach meiner Zeichnung recht plausibel aus. 
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Falls du wünschst, dass ich das noch anhand meiner Unterlagen verifiziere, meldest du dich bitte nochmals! Erfahrungsgemäss lässt sich mein Erinnerungsvermögen aber selten im Stich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 16.09.2004 | | Autor: | flyyy |
danke! ich habe ganz vergessen die vektoren zu normieren. deine lösung scheint plausibel, habe es einmal graphisch gelöst, und komme auf das gleiche.
juhu, schon wieder etwas mehr verstanden!!!
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