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Seien r,s [mm] \ge [/mm] 1 natürliche Zahlen. Seien A1, B1 [mm] \in [/mm] Mr,r [mm] (\IR), [/mm] A2, B2 [mm] \in [/mm] Mr,s [mm] (\IR), [/mm] A3, B3 [mm] \in [/mm] Ms,r [mm] (\IR) [/mm] und A4, B4 [mm] \in [/mm] Ms,s [mm] (\IR).
[/mm]
Betrachte die (r+s) x (r+s) "Blockmatrizen" A= [mm] \pmat{ A1 & A2 \\ A3 & A4 } [/mm] und B= [mm] \pmat{ B1 & B2 \\ B3 & B4 } [/mm]
Zeigen Sie:
1. Es gilt A*B = [mm] \pmat{ A1*B1+A2*B2 & A1*B2+A2*B4 \\ A3*B1+A3*B2 & A3*B2+A4*B4 }
[/mm]
, d.h. mit Blockmatrizen wie mit 2 x 2- Matrizen rechnen.
Wie zeig ich das, ich komm damit nicht weiter, komm nicht darauf wie ich das zeigen soll.
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> Seien r,s [mm]\ge[/mm] 1 natürliche Zahlen. Seien A1, B1 [mm]\in[/mm] Mr,r
> [mm](\IR),[/mm] A2, B2 [mm]\in[/mm] Mr,s [mm](\IR),[/mm] A3, B3 [mm]\in[/mm] Ms,r [mm](\IR)[/mm] und
> A4, B4 [mm]\in[/mm] Ms,s [mm](\IR).[/mm]
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> Betrachte die (r+s) x (r+s) "Blockmatrizen" A= [mm]\pmat{ A1 & A2 \\ A3 & A4 }[/mm]
> und B= [mm]\pmat{ B1 & B2 \\ B3 & B4 }[/mm]
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> Zeigen Sie:
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> 1. Es gilt A*B = [mm]\pmat{ A1*B1+A2*B2 & A1*B2+A2*B4 \\ A3*B1+A3*B2 & A3*B2+A4*B4 }[/mm]
>
> , d.h. mit Blockmatrizen wie mit 2 x 2- Matrizen rechnen.
Hallo,
für mich wäre es nützlich, mir A so aufzuschreiben:
[mm] A=\pmat{ A1 & A2 \\ A3 & A4 } =\pmat{ A_1 & 0 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & A_2 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 0 \\ A_3 & 0 }+\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & A_4 }
[/mm]
B entsprechend.
Sicher weißt Du. daß Du bei Matrizen das Assoziativgesetz anwenden kannst.
Beim Ausmultipliziern von AB erhältst Du 16 Produkte, was zwar viel klingt, aber diese Produkte sind jedes für sich recht gut zu überblicken.
Gruß v. Angela
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Also wenn ich jetzt diese 16 Produkte haben hab ich das dann schon gezeigt oder muss ich da noch was weiter zeigen wenn ja was?
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> Also wenn ich jetzt diese 16 Produkte haben hab ich das
> dann schon gezeigt oder muss ich da noch was weiter zeigen
> wenn ja was?
Nee, gezeigt ist damit noch gaaaaaaar nichts. Es sind Voraussetzungen geschaffen dafür, daß das zeigen etwas leichter fällt.
Dafür mußt Du natürlich ein bißchen etwas über Matrizenmultiplikation wissen.
Wie multipliziert man denn Matrizen?
Bei ziemlich vielen Deiner 16 Produkte kommt Null heraus, spätestens, wenn Du die Produkte einmal ausschreibst als "große Matrix", ich meine: mit den einzelnen Elementen, müßte es Dir auffallen.
Wie sieht z.B.
[mm] \pmat{ A_1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] aus?
Links oben hast Du eine rxr-Matrix mit irgendwelchen Elementen [mm] a_{ij}.
[/mm]
Rechts daneben eine rxs-Matrix nur aus Nullen.
Links unten eine sxr-Matrix aus nur Nullen, und rechts unten eine sxs-Matrix bestehend aus Nullen.
Insgesamt ist es eine (r+s)x(r+s)-Matrix.
Gruß v. Angela
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Hi,
auch ich habe mir jetzt mal diese Vorraussetzungen geschaffen..aber wie beweise ich das jetzt??
kannst du mir bitte helfen..das ist echt nicht so mein thema!
viele grüße
informacao
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> auch ich habe mir jetzt mal diese Vorraussetzungen
> geschaffen..aber wie beweise ich das jetzt??
Dann schreib jetzt ein Produkt hin,
z.B. $ [mm] \pmat{ A_1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $* [mm] \pmat{ 0 & B_2 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Als richtig ausführliche Matrix. Dann multiplizieren...
Als kleine Vorübung kannst Du Dir ja zunächst solch eine nicht so riesige Matrix nehmen, in welcher [mm] A_1 [/mm] eine 2x2-Matrix [mm] (a_{ij}) [/mm] ist und [mm] B_2 [/mm] eine 2x3-Matrix [mm] (b_{ij}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hi,
danke..das haeb ich jetzt gemacht..und ich hatte genau die Nullmatrix raus..aber was sagt mir das jetzt??
ist das jetzt der beweis gewesen?
viele grüße
informacao
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> danke..das haeb ich jetzt gemacht..und ich hatte genau die
> Nullmatrix raus..aber was sagt mir das jetzt??
Ich bin bestürzt...
>
> ist das jetzt der beweis gewesen?
Nee.
Es kommt auch nicht Null heraus.
Du solltest es noch einmal nachrechnen.
Gruß v. Angela
Oder: hier vorrechnen. Dann könnte man sehen, wo der Fehler liegt.
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Und was mach ich wenn ich auch noch zeigen muss:
Sei A3 die Nullmatrix. Dann ist A invertierbar genau dann, wenn A1 und A4 invertierbar sind.
Hab gar keine Ahnung wie ich das machen soll bitte hilf mir.
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Die Behauptung lautet also:
A= $ [mm] \pmat{ A1 & A2 \\ 0 & A4 } [/mm] $ ist invertierbar
<==>
[mm] A_1 [/mm] und [mm] A_4 [/mm] sind invertierbar.
Dazu mußt du zunächst natürlich wissen, was invertierbar bedeutet.
Schreib es mal auf, zunächst allgemein die Definition, dann bezogen auf die Matrix A= $ [mm] \pmat{ A1 & A2 \\ 0 & A4 } [/mm] $ und auf [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_4.
[/mm]
Für den Beweis kannst du Dich dann der Aussage aus Aufg. 1. bedienen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:49 Do 02.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi,
und hier weiß ich auch nicht, was ich machen soll..ich habe die Def. Invertierbar..aber wie lautet der beweis??
gruß,
informacao
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> und hier weiß ich auch nicht, was ich machen soll..ich habe
> die Def. Invertierbar..aber wie lautet der beweis??
Wie lautet die Definition?
Was bedeutet das für A?
Gruß v. Angela
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> > und hier weiß ich auch nicht, was ich machen soll..ich habe
> > die Def. Invertierbar..aber wie lautet der beweis??
>
> Wie lautet die Definition?
>
> Was bedeutet das für A?
>
> Gruß v. Angela
Naja, wenn A invertierbar ist, muss es eine Matrix B geben und es muss gelten A*B=B*A=1. Dann ist die Matrix [mm] A^{-1} [/mm] das Inverse der Matrix A. Invertierbare Matrizen müssen quadratische Matrizen sein.
Infomracao
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> Naja, wenn A invertierbar ist, muss es eine Matrix B geben
> und es muss gelten A*B=B*A=1. Dann ist die Matrix [mm]A^{-1}[/mm]
> das Inverse der Matrix A. Invertierbare Matrizen müssen
> quadratische Matrizen sein.
Jetzt schreib Dir Dein A also Blockmatrix wie gefördert und Dein B auch als Blockmatrix.
Wie lautet das Produkt? Das weißt Du ja aus Teil 1.
Nun vergleich mit der Einheitsmatrix? Was kannst Du für die Blöcke der Produktmatrix folgern?
Gruß v. Angela
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hää--keine ahung was du von mir willst..ich kapier garnichts..
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Ich plante für Dich, daß Du A und B als (r+s) x (r+s) "Blockmatrizen" A= $ [mm] \pmat{ A1 & A2 \\ A3 & A4 } [/mm] $ und B= $ [mm] \pmat{ B1 & B2 \\ B3 & B4 } [/mm] $ schreibst unter Berücksichtigung der Tatsache, daß [mm] A_3 [/mm] die Nullmatrix ist.
Dann solltest Du aus
1= A*B = $ [mm] \pmat{ A1\cdot{}B1+A2\cdot{}B2 & A1\cdot{}B2+A2\cdot{}B4 \\ A3\cdot{}B1+A3\cdot{}B2 & A3\cdot{}B2+A4\cdot{}B4 } [/mm] $
Schlüsse ziehen.
Weißt Du, was die 1 in AB bedeutet?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:24 Do 02.11.2006 | | Autor: | Informacao |
nein, ich verstehe kein einziges Wort!!
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> nein, ich verstehe kein einziges Wort!!
Aha.
Dann können wir das hier getrost abbrechen.
Falls Du Dich für Matrizen interessierst, solltest Du Dich zunächst mit den Basics vertraut machen, damit, was Matrizen sind und wie man mit ihnen rechnet, Eigenschaften der Addition und Multiplikation.
Vielleicht zunächst mit konkreten kleinen Matrizen.
Gruß v. Angela
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ich interessiere mich doch dafür. und ich beschäftige mich damit..nur ich komme nicht damit klar, wie man solche beweise bewerkstelligen muss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Sa 04.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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