lineare Abhängigkeit mit Var. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Noah |
Hallo,
ich muss die Variable a so zuordnen das die Vektoren linear Abhängig voneinander sind.
die vektoren heißen (a, -3, 5), (1, -a, 2), (-2, -2, 2a)
Ich komm da einfach nicht drauf! Ich hab auch schon gesucht nach so einer Aufgabe mit Variablen aber hab nur mit Konstanten gefunden. Bitte helft weiter!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=38596&styleid=7
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:04 Di 22.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Noah!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Hallo,
> ich muss die Variable a so zuordnen das die Vektoren
> linear Abhängig voneinander sind.
> die vektoren heißen (a, -3, 5), (1, -a, 2), (-2, -2, 2a)
Der erste Ansatz wäre, eine Gleichung aufzustellen. Die 3 Vektoren sind ja genau dann linear unabhängig, falls aus
[mm] $(\star)$[/mm] [m]r*\vektor{a\\-3\\5}+s*\vektor{1\\-a\\2}+t*\vektor{-2\\-2\\2a}=\vektor{0\\0\\0}[/m] folgt:
$r=s=t=0$.
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] erhältst du nun 3 Gleichungen in den Variablen $r,s,t$:
1.) [m]a*r+s-2*t=0[/m]
2.) [m]-3*r-a*s-2*t=0[/m]
3.) [m]5*r+2*s+2a*t=0[/m]
Daraus versuchen wir nun, $r,s$ und $t$ zu bestimmen.
Zunächst eliminieren wir das $r$. Dazu rechnen wir:
$3*$(1.)$+a*$(2.) ($a [mm] \not=0$) [/mm] und erhalten:
(1') [mm] $(3-a^2)*s-(6+2a)*t=0$
[/mm]
Nun rechnen wir $5*$(2.)$+3*$(3.) und erhalten:
(2') $(6-5a)*s+(6a-10)*t=0$
Nun rechnen wir [mm] $(6-5a)*$(1')$-(3-a^2)*$(2') [/mm] ([mm]a\not=\frac{5}{6}[/mm] und [m]a \not=\pm\wurzel{3}[/m]) und erhalten:
[mm][-(6-5a)(6+2a)-(3-a^2)(6a-10)]*t=0[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
.
.
.
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_2)$[/mm] [m](1-a^3)*t=0[/m]
Ist nun [mm] $(1-a^3)\not=0$, [/mm] also [mm] $a\not=1$, [/mm] so folgt $t=0$.
Damit haben wir:
$t=0$ [mm] $\gdw$ $a\not=1$.
[/mm]
Für $a [mm] \not=1$ [/mm] folgt also $t=0$. Betrachtet man nun die Fälle $a=0$, [m]a=\pm\wurzel{3}[/m] bzw. [mm] $a=\frac{5}{6}$ [/mm] (diese mussten wir bei der Rechnung ausschließen!), so erkennt man, dass in jedem dieser Fälle die Vektoren linear unabhängig sind (nachrechnen)!
[Einschub dazu, um entsprechende Überlegungen einmal zu sehen:
Beispielsweise gilt:
Ist [mm] $a=\wurzel{3}$ [/mm] oder [mm] $a=-\wurzel{3}$ [/mm] (in abgekürzter Schreibweise sagen wir: falls [mm] $a=\pm\wurzel{3}$), [/mm] so liefert 1') $t=0$. Dann folgt aus 2') (da dann [mm] $6-5a\not=0$ [/mm] gilt) auch $s=0$ und damit liefert dann auch 1.) (da dann wegen [mm] $\pm\wurzel{3}\not=0$ [/mm] auch [mm] $a\not=0$ [/mm] gilt) auch $r=0$. Also sind die Vektoren im Falle [mm] $a=\pm\wurzel{3}$ [/mm] linear unabhängig!]
Wir können also jetzt ohne Einschränkung $a [mm] \not=0$, [/mm] $a [mm] \not=\frac{5}{6}$ [/mm] und $a [mm] \not=\pm\wurzel{3}$ [/mm] annehmen.
Dann gilt, wie bereits oben erwähnt:
Für $a [mm] \not=1$ [/mm] gilt $t=0$. Wegen $a [mm] \not=\pm\wurzel{3}$ [/mm] folgt dann aus 1') $s=0$ und wegen $a [mm] \not=0$ [/mm] folgt dann aus 1.) $r=0$.
Insgesamt:
Die drei Vektoren sind linear unabhängig genau dann, wenn $a [mm] \not=1$ [/mm] gilt. D.h., die Vektoren sind dann und nur dann linear abhängig, falls $a=1$ gilt.
Zur Kontrolle (evtl. überlesen):
Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, falls
[mm]\det\left(\begin{pmatrix}{a && 1 && -2\\-3 && -a&& -2\\ 5 && 2&& 2a}\end{pmatrix}\right)=0[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]a*(-a)*2a+1*(-2)*5+(-2)*(-3)*2-5*(-a)*(-2)-2*(-2)*a-2a*(-3)*1=0[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-2a^3-10+12-10a+4a+6a=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]2(1-a^3)=0[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$a=1$.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Di 22.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marcel,
stimmt,
da hab' ich Deinen Nachtrag ("Determinante") überlesen!
Naja: Man wird alt und klapprig!
Aber wie sagt der Engländer? What shall's!
mfG!
Zwerglein
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Hi, Noah,
schwimmt' Dein Schiff noch?
Zur Aufgabe: Du bist laut Angabe LK12. Könnte sein, dass Du bereits Determinanten kennst. Drum hier mein Lösungsvorschlag:
Setz' die 3 Vektoren in die Determinante ein. Wenn sie linear abhängig sind, muss diese Determinante =0 sein:
[mm] \vmat{a & 1 & -2\\-3 & -a & -2\\5 & 2 & 2a} [/mm] = 0
Mit der Regel von Sarrus ergibt sich: [mm] -2a^{3}-10+12-10a+4a+6a=0
[/mm]
Und das wird vereinfacht zu [mm] -2a^{3} [/mm] = -2 oder [mm] a^{3} [/mm] = 1, also: a=1.
Aber selbst wenn Du die Determinante nicht kennst, hab' ich einen Tipp für Dich: Wenn 3 Vektoren linear abhängig sind, lässt sich einer der 3 Vektoren (nimmst am besten den dritten) durch die beiden anderen darstellen; dadurch sparst Du Dir eine Variable:
[mm] \vektor{-2\\-2\\2a} [/mm] = [mm] r*\vektor{a\\-3\\5} [/mm] + [mm] s*\vektor{1\\-a\\2}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
