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| Aufgabe | | Ist ein Vektor v [mm] \in \IR^n [/mm] lin. abh.? |
Hallo,
hier mal mein Gedanke:
Eine Menge k von Vektoren [mm] v_{i} [/mm] ist lin. unabh. [mm] \gdw \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i} [/mm] * [mm] v_{i}=0 [/mm] mit [mm] \lambda_{i} [/mm] =0
Laut dieser Def. würde ich sagen: ja.
Denn ich kann [mm] \lambda [/mm] *v=0 ja nur lösen, wenn [mm] \lambda [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] v lin. abh.
aber bei allem, was ich so finde wird immer von min. zwei Vektoren gesprochen...
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v ist linear unabhängig gdw. [mm] v\not=0
[/mm]
Soll heißen: Man muss unterscheiden, ob v der Nullvektor ist.
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Wie sieht das denn aus, wenn mehrere Vektoren untersucht werden sollen?
Reicht es dabei das LGS aufzustellen und dann zu schauen, ob man über Lösungsverhalten von LGS argumentieren kann, dass lin Abh. bzw. lin Unabh. vorliegt.
Also z.B. ist Rg(A)=n (Anzahl der Spalten) dann gibt es für das LGS doch nur die triviale Lösung mit [mm] \lambda_{i}=0. [/mm] Hätte man damit schon lin. Unabh. bewiesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 07.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Wie sieht das denn aus, wenn mehrere Vektoren untersucht
> werden sollen?
Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt.
Oder aber: Keiner der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.
Zum Beispiel sind [mm]x=\vektor{1 \\
0 \\
1},y=\vektor{0 \\
1\\
0}\in\IR^3[/mm] linear unabhängig, weil
[mm]\lambda_1*\vektor{1 \\
0 \\
1}+\lambda_2*\vektor{0 \\
1\\
0}=0\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=0[/mm]
>
> Reicht es dabei das LGS aufzustellen und dann zu schauen,
> ob man über Lösungsverhalten von LGS argumentieren kann,
> dass lin Abh. bzw. lin Unabh. vorliegt.
Ja. Du kannst entsprechend das homogene Gleichungssystem [mm]A*\lambda=0[/mm] mit [mm]\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)^T[/mm] aufstellen und zeigen, dass es die einzige Lösung [mm]\lambda=0[/mm] hat.
> Also z.B. ist Rg(A)=n (Anzahl der Spalten) dann gibt es
> für das LGS doch nur die triviale Lösung mit
> [mm]\lambda_{i}=0.[/mm] Hätte man damit schon lin. Unabh. bewiesen?
Ja. Hat A vollen Rang, so hat das homogene LGS [mm]A*\lambda=0[/mm] nur die Lösung [mm]\lambda=0[/mm].
Gruß
barsch
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