lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei (V,+,*) ein K-Vektorraum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:
(a) Die Vektoren [mm]a_1,...,a_m \in V [/mm] sind linear abhängig
(b) Mindestens ein Vektor [mm] a_j [/mm] ist Linearkombination der anderen: [mm]a_j = \summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i[/mm] |
Hi,
meine Lösung:
zu zeigen: (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b) und (b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a)
(a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b):
Sind [mm]a_1,...,a_m[/mm] linear abhängig, so gibt es [mm] \lambda_1,...,\lambda_m [/mm] (nicht alle 0), so dass [mm] \summe_{i=1}^{m} \lambda_i*a_i [/mm] = 0
Sei [mm] \lambda_i \not= [/mm] 0, dann [mm] \lambda_j*a_j [/mm] = [mm] -\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \lambda_i*a_i
[/mm]
(b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a):
[mm]a_j = \summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]0=\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i+(-1)*a_j[/mm]
Ist das so korrekt?
Lg, nitro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 23.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo nitro,
> zu zeigen: (a) [mm]\Rightarrow[/mm] (b) und (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a)
>
> (a) [mm]\Rightarrow[/mm] (b):
> Sind [mm]a_1,...,a_m[/mm] linear abhängig, so gibt es
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_m[/mm] (nicht alle 0), so dass
> [mm]\summe_{i=1}^{m} \lambda_i*a_i[/mm] = 0
>
> Sei [mm]\lambda_i \not=[/mm] 0, dann [mm]\lambda_j*a_j[/mm] =
Hier meinst du [mm] $\lambda_\red{j}\not=0$, [/mm] oder?
> [mm]-\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \lambda_i*a_i[/mm]
Jetzt gehe aber auch den letzten Schritt (den, wofür du die Erkenntnis [mm] $\lambda_j\not=0$ [/mm] überhaupt benötigst), und zeige, dass sich ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt...
> (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a):
> [mm]a_j = \summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]0=\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i+(-1)*a_j[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ja, das ist perfekt!
Well done,
Marc
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Hi und Danke für deine Antwort!
> Hallo nitro,
>
> > zu zeigen: (a) [mm]\Rightarrow[/mm] (b) und (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a)
> >
> > (a) [mm]\Rightarrow[/mm] (b):
> > Sind [mm]a_1,...,a_m[/mm] linear abhängig, so gibt es
> > [mm]\lambda_1,...,\lambda_m[/mm] (nicht alle 0), so dass
> > [mm]\summe_{i=1}^{m} \lambda_i*a_i[/mm] = 0
> >
> > Sei [mm]\lambda_i \not=[/mm] 0, dann [mm]\lambda_j*a_j[/mm] =
>
> Hier meinst du [mm]\lambda_\red{j}\not=0[/mm], oder?
äh ja klar.
> > [mm]-\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \lambda_i*a_i[/mm]
>
> Jetzt gehe aber auch den letzten Schritt (den, wofür du
> die Erkenntnis [mm]\lambda_j\not=0[/mm] überhaupt benötigst), und
> zeige, dass sich ein Vektor als Linearkombination der
> anderen darstellen lässt...
Ok, gut, also die ganze Gleichung durch [mm]\lambda_j[/mm] teilen:
[mm]a_j = -\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \bruch{\lambda_i}{\lambda_j}*a_i[/mm]
So passts dann oder?
> > (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a):
> > [mm]a_j = \summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]0=\summe_{i=1,i\not=j}^{m} \mu_i*a_i+(-1)*a_j[/mm]
> >
> > Ist das so korrekt?
>
> Ja, das ist perfekt!
>
> Well done,
> Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 23.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo nitro,
> So passts dann oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
-Marc
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