lineare Abbildungen prüfen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen zwischen IR- Vektorräumen sind linear?
a) [mm] f_1 [/mm] :[mm] \IR^4 \rightarrow \IR^4 , (x_1, x_2, x_3, x_4) \rightarrow \ (x_1x_2,x_2 - x_1,x_3, x_4)[/mm]
b) [mm] f_2 [/mm] :[mm] \IR^4 \rightarrow \IR^4 , (x_1, x_2, x_3, x_4)\rightarrow \ (x_1 + x_2 + x_4, 2x_4, 3x_4, 4x_1 + 5x_2 + x_3 + x_4)[/mm]
c) [mm] f_3 [/mm] :[mm] \IR^n \rightarrow \IR^n , x \rightarrow \ x + x_0 [/mm], für einen festen Vektor [mm] x_0 \in\IR^n \ ) [/mm]
d) [mm] f_4 [/mm] :[mm] \IR^n \rightarrow \IR^2^n , (x_1,..., x_n) \rightarrow \ (x_1,...,x_n, x_1,...,x_n)[/mm] |
Wie beweise ich Linearität?
Muss ich Additivität und Homogenität für je zwei Abbildungen prüfen? Wenn ja, wie?
Schreib Montag Klausur und hab noch so viel aufzuarbeiten, dass ich den neuen Stoff kaum schaffe.
Könnte mir jemand ein Beispiel geben? Bitte Bitte
lg dorix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Gilga |
linear: f(x+y)=f(x)+f(y) und f(sx)=sf(x); für alle skalare s und vektoren x y
z.b. 3) [mm] f(x+y)=x+y+$x_0$ $\not=$ x+$x_0$ [/mm] +y [mm] +$x_0$ [/mm] =f(x)+f(y)
Probier mal die anderen Aufgaben selber
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
Wie kommt man denn auf diese Umformung?
> z.b. 3) f(x+y)=x+y+[mm]x_0[/mm] [mm]\not=[/mm] x+[mm]x_0[/mm] +y +[mm]x_0[/mm] =f(x)+f(y)
Ich bekomm das nicht hin...
lg dorix
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> Wie kommt man denn auf diese Umformung?
>
> > z.b. 3) f(x+y)=x+y+[mm]x_0[/mm] [mm]\not=[/mm] x+[mm]x_0[/mm] +y +[mm]x_0[/mm] =f(x)+f(y)
Hallo,
berechne f(x+y) und f(x)+f(y) und vergleiche.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
> Hallo,
>
> berechne f(x+y) und f(x)+f(y) und vergleiche.
>
wenn ich wüsste, wie f(x+y) und f(x)+f(y) aussieht, täte ich das sicherlich...
aber ich weiß nichts mit der Abbildungsvorschrift anzufangen. z.B. 1) [mm] "x_1,x_2...wird [/mm] auf [mm] x_1x_2,..." [/mm] abgebildet?
bitte noch ein wenig Hilfestellung, danke
lg
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> > Hallo,
> >
> > berechne f(x+y) und f(x)+f(y) und vergleiche.
> >
> wenn ich wüsste, wie f(x+y) und f(x)+f(y) aussieht, täte
> ich das sicherlich...
Wir sind ja gerade bei
> c) $ [mm] f_3 [/mm] $ :$ [mm] \IR^n \rightarrow \IR^n [/mm] , x [mm] \rightarrow [/mm] \ x + [mm] x_0 [/mm] $, für einen festen Vektor $ [mm] x_0 \in\IR^n [/mm] \ ) $
Also ist [mm] f(x)=x+x_0
[/mm]
Was ist denn dann f(x+y)?
> aber ich weiß nichts mit der Abbildungsvorschrift
> anzufangen. z.B. 1) [mm]"x_1,x_2...wird[/mm] auf [mm]x_1x_2,..."[/mm]
a) $ [mm] f_1 [/mm] $ [mm] :$\IR^4 \rightarrow \IR^5 [/mm] , [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4) \rightarrow [/mm] \ [mm] (x_1,x_2,x_2 [/mm] - [mm] x_1,x_3, x_4) [/mm] $
Das ist eine Abbildung v. [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^5.
[/mm]
Ich weiß nicht, was ich da noch erklären soll... Für [mm] x:=\vektor{x_1\\ x_2\\x_3\\x_4} [/mm] ist [mm] f(x)=f\vektor{x_1\\ x_2\\x_3\\x_4}:=\vektor{x_1\\ x_2\\x_2-x_1\\x_3\\x_4}.
[/mm]
In der Linearitätsbedingung mußt Du dann für x den Vektpor [mm] \vektor{x_1\\ x_2\\x_3\\x_4} [/mm] nehmen und für y entsprechend.
Gruß v. Angela
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