lineare Abbildungen,basen IR² < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 05.12.2007 | | Autor: | gokhant |
| Aufgabe | Die Aufgabe 4(finden sie auf dem Blatt)...
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich weiss nicht wie ich die Aufgabe 4 lösen soll..Habe mittlerweile die Aufgaben 1-3 alle gelöst...würde gerne mich an die Aufgabe 4 herantasten aber das klappt iwie nicht so toll..könntet ihr mir mal bitte helfen..würde mich freuen wenn die antwort auf eine simple mathematische Sprache sein würde...
mfg gokhant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Meli90 |
Guten Abend!
Tut mir leid, aber ich kann deine angehängte Datei schlichtweg nicht lesen..
Vielleicht kannst du die Aufgabe nochmals abschreiben, oder neu einscanne, so ist leider nicht zu gebrauchen..
Liebe Grüsse, Mel
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Hallo gokhant,
ich versuche das mal für die Basen [mm] $\mathcal{A}=\left\{\vektor{1\\2},\vektor{1\\3}\right\}$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] und
[mm] $\mathcal{B}=\left\{\vektor{1\\2\\3},\vektor{2\\1\\3},\vektor{3\\2\\1}\right\}$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] zu erklären:
Du hast eine Matrix [mm] $S=\pmat{0&1\\1&1\\2&0}$, [/mm] die dir bzgl. gewählter Basen eindeutig eine lineare Abbildung [mm] $L:\IR^2\to\IR^3$ [/mm] liefert
Bzgl. der Basen [mm] $\mathcal{A},\mathcal{B}$ [/mm] wird [mm] $L_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}$ [/mm] durch S wie folgt festgelegt
Allg. ergibt sich die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $L$, indem du den i-ten Basisvektor des Urbildraumes unter L abbildest und sein Bild als Linearkombination der Basisvektoren des Zielraumes darstellst.
Die Koeffizienten in dieser LK bilden dann die i-te Spalte der Darstellungsmatrix.
Was heißt das hier konkret?
Nun die erste Spalte der Abbildungsmatrix S ist [mm] $\vektor{\red{0}\\\red{1}\\\red{2}}$
[/mm]
Das bedeutet, dass [mm] $L\vektor{1\\2}=\red{0}\cdot{}\vektor{1\\2\\3}+\red{1}\cdot{}\vektor{2\\1\\3}+\red{2}\cdot{}\vektor{3\\2\\1}\blue{=\vektor{8\\5\\5}}$
[/mm]
Analog ist dann [mm] $L\vektor{1\\3}=1\cdot{}\vektor{1\\2\\3}+1\cdot{}\vektor{2\\1\\3}+0\cdot{}\vektor{3\\2\\1}\blue{=\vektor{3\\3\\6}}$
[/mm]
Nun möchtest du das Bild des Vektors [mm] $v=\vektor{3\\5}$ [/mm] berechnen
$u$ lässt sich als LK der Basisvektoren aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] darstellen:
[mm] $\vektor{3\\5}=\lambda\cdot{}\vektor{1\\2}+\mu\cdot{}\vektor{1\\3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda=4, \mu=-1$
[/mm]
also [mm] $\vektor{3\\5}=4\cdot{}\vektor{1\\2}+(-1)\cdot{}\vektor{1\\3}$
[/mm]
Nun kannst du ausnutzen, dass $L$ eine lineare Abbildung ist:
Es ist [mm] $L(v)=L\vektor{3\\5}=L\left(4\cdot{}\vektor{1\\2}+(-1)\cdot{}\vektor{1\\3}\right)=4\cdot{}L\vektor{1\\2}+(-1)\cdot{}L\vektor{1\\3}$
[/mm]
[mm] $=4\cdot{}\blue{\vektor{8\\5\\5}}+(-1)\cdot{}\blue{\vektor{3\\3\\6}}=\vektor{29\\17\\14}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Do 06.12.2007 | | Autor: | gokhant |
Ich danke dir echt sehrrr..das war sehr gut erklärt sehr verständlich und sehr konkret ohne die Sache schwerer darzustellen als sie schon ist...ich gebe dir 10 von 10punkten !!
Mfg gokhant
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