lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Di 07.06.2005 | | Autor: | mausi |
hallo ihr lieben
hier mal wieder ne Frage von mir, wo ich hoffe das mir jemand helfen kann
[mm] L_1,L_2 [/mm] seien 2 lineare Abbildungen [mm] L_1:U->V L_2: [/mm] V->W und [mm] L_2 \cdot L_1
[/mm]
(Das Malzeichen zwischen [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] soll eigentlich ein Kreis sein aber der Formeleditor will heute nicht)
sei ihre Komposition [mm] L_2 \cdot L_1:U->W
[/mm]
a) welche Beziehung ( [mm] \le,= [/mm] ) gilt zwischen ker( [mm] L_2 \cdot L_1) [/mm] und [mm] ker(L_1) [/mm] und wann gilt Gleichheit?
b)welche Beziehung ( [mm] \subseteq,= [/mm] ) gilt zwischen im( [mm] L_2 \cdot L_1) [/mm] und [mm] im(L_2) [/mm] und wann gilt Gleichheit?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo mausi!
> [mm]L_1,L_2[/mm] seien 2 lineare Abbildungen [mm]L_1:U->V L_2:[/mm] V->W
> und [mm]L_2 \cdot L_1[/mm]
>
> (Das Malzeichen zwischen [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] soll eigentlich ein
> Kreis sein aber der Formeleditor will heute nicht)
>
> sei ihre Komposition [mm]L_2 \cdot L_1:U->W[/mm]
> a) welche
> Beziehung ( [mm]\le,=[/mm] ) gilt zwischen ker( [mm]L_2 \cdot L_1)[/mm] und
> [mm]ker(L_1)[/mm] und wann gilt Gleichheit?
Es gilt allgemein die Beziehung
[mm] $ker(L_1) \subseteq ker(L_2 \circ L_1)$.
[/mm]
Denn: Ist $x [mm] \in ker(L_1)$, [/mm] dann gilt: [mm] $L_1(x)=0$, [/mm] also wegen [mm] $L_2(0)=0$ ($L_2$ [/mm] ist ja linear!) dann auch:
[mm] $(L_2 \circ L_1)(x) [/mm] = [mm] L_2(L_1(x)) [/mm] = [mm] L_2(0)=0$,
[/mm]
also:
$x [mm] \in ker(L_2 \circ L_1)$.
[/mm]
Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm] $L_2$ [/mm] injektiv ist. Versuche das mal selber zu zeigen: Beachte dafür: [mm] $L_2$ [/mm] ist genau dann injektiv, wenn [mm] $ker(L_2)=\{0\}$ [/mm] ist.
> b)welche Beziehung ( [mm]\subseteq,=[/mm] ) gilt zwischen im( [mm]L_2 \cdot L_1)[/mm]
> und [mm]im(L_2)[/mm] und wann gilt Gleichheit?
Im Allgemeinen gilt:
[mm] $im(L_2 \circ L_1) \subseteq im(L_2)$.
[/mm]
Denn es sei $y [mm] \in [/mm] im [mm] (L_2 \circ L_1)$. [/mm] Dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] U$ mit [mm] $(L_2 \circ L_1)(x)=y$, [/mm] also:
[mm] $L_2(L_1(x)) [/mm] = y$.
Dann ist aber [mm] $\tilde{x}:=L_1(x) \in [/mm] V$, und es gilt:
[mm] $L_2(\tilde{x}) [/mm] = [mm] L_2(L_1(x)) [/mm] = y$.
Dies bedeutet: $y [mm] \in im(L_2)$.
[/mm]
Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm] $L_1$ [/mm] surjektiv ist. Versuche das mal bitte selber zu zeigen und melde dich wieder mit einem eigenen Lösungsvorschlag zu den noch zwei offenen Fragen. 
Viele Grüße
Julius
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