lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 17.01.2008 | | Autor: | Accid |
| Aufgabe 1 | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
| Aufgabe 2 | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst einmal zu Aufgabe 1: Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, was [mm]E_3[/mm] und [mm]E_2[/mm] ist. Meine Idee war, dass ich über die lineare Abbildungen darauf kommen müsste, bin mir dabei aber nicht sicher.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Aufgabe 1:
> Anhang Nr.1
> Zuerst einmal zu Aufgabe 1: Mein Problem ist, dass ich
> nicht genau weiß, was [mm]E_3[/mm] und [mm]E_2[/mm] ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mit [mm] E_3 [/mm] bzw. [mm] E_2 [/mm] sind hier gewiß die Standardbasen von [mm] \IR_3[x] [/mm] bzw. [mm] \IR_2[x] [/mm] gemeint, also [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] bzw. [mm] (1,x,x^2).
[/mm]
Gesucht ist nun [mm] M_T(B, E_3). [/mm] Das ist die darstellende Matrix von T bzgl. dieser beiden Basen.
Du findest sie, indem Du die Bilder der Elemente von [mm] E_3 [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. der Basis B schreibst.
Fang damit mal an, später kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 17.01.2008 | | Autor: | Accid |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
Ok, dann müsste [mm]M_T[/mm] eigentlich so aussehen (wenn ich mich nicht komplett verrechnet habe) :
[mm]M_T={\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
So weit so gut... was mache ich dann mit [mm]M_i_d__R__2 [x][/mm]?
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> Erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
>
> Ok, dann müsste [mm]M_T[/mm] eigentlich so aussehen (wenn ich mich
> nicht komplett verrechnet habe) :
Hallo,
wenn ich nicht wirr bin, hast Du Dich verrechnet.
Am besten, Du rechnest mal exemplarisch eine Spalte vor - aber nicht die erste!!!
Gruß v. Angela
>
> [mm]M_T={\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> So weit so gut... was mache ich dann mit [mm]M_i_d__R__2 [x][/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:07 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Accid |
ok...
also da ja gilt:
D(1)=0
D(x)=1
D(x²)=2x
D(x³)=3x²
Um D(x) darstellen zu können brauche ich ja nur das erste Element aus B. Folglich lautet die zweite Spalte der Matrix: 1, 0, 0.
Um D(x²) darstellen zu können, brauche ich zweimal das zweite Element und dann muss ich davon 2 mal das erste Elemt abziehen (was mich auch schon einen Fehler erkennen lässt :( ). Die dritte Spaltemüsste also lauten: 2, -2, 0.
Analog gilt für D(x³) und die vierte Spalte: 0, -3, 3 ...
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Hallo,
das erklärt manches: wir reden über völlig verschiedene Aufgaben.
Ich redete über die Aufgabe im Anhang 1, wo es eine Abbildung T gibt, die anders ist als Deine Abbildung D,
Aber auch wenn ich die Aufgabe nicht kenne, macht das , was Du schreibst den Eindruck, als tätest Du das richtige.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Accid |
ok, jetzt bin ich ein bisschen verwirrt...
du meinst also, ich habe die Abbildung D konstruiert? Folglich sollte ich die Werte von T(1), T(x), ... (wie also in der Aufgabe angegeben) verwenden, um [mm]M_T[/mm] zu erhalten?
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> du meinst also, ich habe die Abbildung D konstruiert?
Keine Ahnung. Ich dachte Du würdet eine andere Aufgabe bearbeiten.
> Folglich sollte ich die Werte von T(1), T(x), ... (wie also
> in der Aufgabe angegeben) verwenden, um [mm]M_T[/mm] zu erhalten?
Ja. Dieses [mm] M_T [/mm] (in Deiner Aufgabe mit einem deutschen M) soll doch die darstellende Matrix der Abbildung T sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Accid |
hehe, nein, ich meine die selbe Aufgabe wie du :)
dann müsste [mm]M_T[/mm] wie folgt aussehen:
[mm]M_T=\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
oder?
wie konstruiere ich dann [mm]M_i_d__R__2[X][/mm] ?
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Ja, die Matrix ist richtig.
Für den Rest hätte ich erst später am Tag Zeit.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Accid |
danke erstmal für deine bisherige hilfe :)
ist ok. ich hoffe du vergisst mich aber nicht :)
PS: kleiner Anhang: wenn ich mich nicht irre, geht es hier um einen Basiswechsel und die Matrix eben dazu zu finden... (was die Sache aber nicht leichter macht)
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So,
als nächstes ist nun die Matrix [mm] M_{id_{\IR_2[x]}}(B,E_2) [/mm] gesucht.
Das ist die darstellende Matrix der Abbildung, welche folgendes leistet:
sie wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl. [mm] E_2 [/mm] gegeben sind, in solche bzgl. B um.
Diese Abbildung verändert die Vektoren also nicht, sondern sie beschreibt sie nur bzgl. einer anderen Basis. Daher der Index [mm] id_{\IR_2[x]} [/mm] unten am M.
Wenn Du die Matrix mit einem Koordinatenvektor bzgl E multiplizierst, erhältst Du als Ergebnis denselben Vektor in Koordinaten bzgl B.
Um diese Matrix zu erhalten, hast Du zwei Möglichkeiten:
1.
Schreibe 1,x und [mm] x^2 [/mm] als Linearkombination der Vektoren in B und stecke die Koeffizienten als Spalten in die Matrix. Dann hast Du [mm] M_{id_{\IR_2[x]}}(B,E_2).
[/mm]
2. Du kannst die Vektoren aus B in Koordinaten bzgl E schreiben und diese als Spalten in eine Matrix stecken. Dann hast Du die Transformationsmatrix [mm] M_{id_{\IR_2[x]}}(E_2,B).
[/mm]
Invertieren dieser Matrix liefert die Transformationsmatrix [mm] M_{id_{\IR_2[x]}}(B,E_2), [/mm] welche Du eigentlich wollen sollst.
--
Die dann noch geforderte Matrix [mm] M_{id_{\IR_2[x]}}(B,B) [/mm] ist eher einfach zu erstellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Accid |
Danke erstmal für deine ausführliche Hilfe und die Erklärung :)
Wenn ich das was du geschrieben hast richtig verstanden habe, dann müssten die beiden Matrizen so aussehen:
[mm]M_{id_{\IR_2[x]}}(B,E_2)=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
und
[mm]M_{id_{\IR_2[x]}}(B,B)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
oder?
Der letzte Teil, also die Frage nach den Komponenten bezüglich der Basis B und bezüglich der Basis [mm]E_2[/mm] von [mm]R_2[x][/mm] lauten dann ja eigentlich:
bezüglich B:
[mm]b_1=-1[/mm]
[mm]b_2=2[/mm]
[mm]b_3=1[/mm]
bezüglich der Basis [mm]E_2[/mm]:
[mm]e_1=2[/mm]
[mm]e_1=3[/mm]
[mm]e_1=1[/mm]
oder?
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> Danke erstmal für deine ausführliche Hilfe und die
> Erklärung :)
>
> Wenn ich das was du geschrieben hast richtig verstanden
> habe, dann müssten die beiden Matrizen so aussehen:
>
> [mm]M_{id_{\IR_2[x]}}(B,E_2)=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
richtig!
>
> und
>
> [mm]M_{id_{\IR_2[x]}}(B,B)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> oder?
Ja.
>
> Der letzte Teil, also die Frage nach den Komponenten
von [mm] T(2+3x+x^3)
[/mm]
> bezüglich der Basis B und bezüglich der Basis [mm]E_2[/mm] von
> [mm]R_2[x][/mm] lauten dann ja eigentlich:
Was hast Du da gerechnet? Es scheint mir nicht zu stimmen.
Überlege Dir auch, ob und wie Du Dir die errechneten Matrizen für die Lösung dieses Problems zunutze machen könntest.
Gruß v. Angela
>
> bezüglich B:
> [mm]b_1=-1[/mm]
> [mm]b_2=2[/mm]
> [mm]b_3=1[/mm]
>
> bezüglich der Basis [mm]E_2[/mm]:
> [mm]e_1=2[/mm]
> [mm]e_1=3[/mm]
> [mm]e_1=1[/mm]
>
> oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Accid |
Ich dachte zuerst, dass ich einfach T(2+3x+x³) einfach durch B bzw durch [mm] E_2 [/mm] darstellen soll. Gerade habe ich bemerkt, dass dafür aber meine Lösung auch falsch ist (hab x³ überlesen und x² verwendet)...
Du meinst, ich soll die errechneten Matrizen eventuell verwenden?
Da komme ich gerade nicht weiter... steh da leider auf dem Schlauch, sorry... das x³ verwirrt mich :(
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> Ich dachte zuerst, dass ich einfach T(2+3x+x³) einfach
> durch B bzw durch [mm]E_2[/mm] darstellen soll. Gerade habe ich
> bemerkt, dass dafür aber meine Lösung auch falsch ist (hab
> x³ überlesen und x² verwendet)...
>
> Du meinst, ich soll die errechneten Matrizen eventuell
> verwenden?
Du kannst (!) sie verwenden - und da Du das in naher Zukunft wirst können müssen, ist es nicht unsinnig, sich damit zu befassen - vielelicht morgen.
Aber mach's doch erstmal ohne, dann hast Du erstens die Aufgabe fertig und zweitens später eine Referenz, wenn Du das mit den Matrizen probierst.
> Da komme ich gerade nicht weiter... steh da leider auf dem
> Schlauch, sorry... das x³ verwirrt mich :(
Du hast doch jetzt [mm] T(2+3x+x^3) [/mm] zur berechen.
T ist linear, also ist das [mm] T(2)+T(3x)+T(x^3)=2T(1)+3T(x)+T(x^3), [/mm] und das kriegst Du doch hin!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Accid |
Danke für den Ratschlag, ich werds mir demnächst anschauen...
> T ist linear, also ist das [mm] T(2)+T(3x)+T(x^3)=2T(1)+3T(x)+T(x^3) [/mm] und das kriegst Du doch hin!
Gerade wollte ich meine Frage editieren und wollte fragen, ob ich das so machen kann :)
Wie gebe ich das Ergebnis dann an? Als Vektor?
also so:
[mm] v=\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] (bezüglich Basis B)
[mm] u=\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] (bezüglich Basis [mm] E_2)
[/mm]
?
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> Wie gebe ich das Ergebnis dann an? Als Vektor?
>
> also so:
>
> [mm]v=\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] (bezüglich
> Basis B)
>
> [mm]u=\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] (bezüglich
> Basis [mm]E_2)[/mm]
>
> ?
Ja, so kannst Du es machen. Ich schreibe das oft so [mm] u=\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}_{E_2}.
[/mm]
Ich habe bei dem ersten übrigens in der Mitte was anderes stehen - da ich im Moment absolut rechenunlustig bin, schiebe ich Dir den schwarzen Peter zu: rechne nochmal nach. (Ich will keinesfalls ausschließen, daß ich mich verrechnet habe.)
Jedenfalls hast Du die Sache verstanden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Accid |
Habs nochmal nachgerechnet und eigentlich denke ich, dass es richtig ist...
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe (und deine echt tollen Erklärungen) bei der ersten Aufgabe. Werd mich gleich an die Zweite machen und sicherlich tauchen da auch Fragen auf.
Liebe Grüße
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>Werd mich gleich an
> die Zweite machen und sicherlich tauchen da auch Fragen
> auf.
Stell die am besten frisch in einem neuen Thread inkl. Aufgabe.
Dieser wird sonst zu lang, und es ist die Wahrscheinlchkeit, daß Dir jemand außer mir antwortet, dann sehr klein.
Gruß v. Angela
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