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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 13.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Sei V der reelle Standartvektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] und W der reelle Standartvektorraum [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Existiert eine lineare Abbildung [mm] f:V\toW [/mm] mit der Eigenschaft
f(2,1,0)=(0,-2),
f(2,2,0)=(1,-3) und
f(1,0,-1)=(1,4)? |
Hallo an alle,
die Antrwort der Aufgabe ist entweder ja oder nein, man muss nichts exaktes errechnen.
Ich verstehe leider nur noch nicht, wie das gegebene Gleichungssystem aussieht und wie und ob man es lösen könnte.
Kann man im allgemeinen sagen, dass wenn eine Lösung für dieses Gleichungssystem existiert, dass es dann eine lineare Abbildung ist, oder wovon hängt das ab?
Vielen Dank im Voraus, Paula!!!
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"Eine lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder der Basis bestimmt."
Hast du den Satz schonmal gesehen/gehört?
Also um die Frage zu beantworten musst du gucken, ob
(2,1,0),(2,2,0),(1,0,-1) eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.
Wenn ja bist du fertig, wenn nein musst du gucken ob es einen Widerspruch gibt (überleg dir mal wie du mit den Eigenschaften einer linearen Abbildung einen Widerspruch basteln kannst, falls die drei obigen Vektoren linear abhängig wären...).
Also du musst kein großes LGS lösen; außer vielleicht eins für die Frage ob du eine Basis hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Do 14.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Also um die Frage zu beantworten musst du gucken, ob
> (2,1,0),(2,2,0),(1,0,-1) eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] ist.
Reicht es dann nicht wenn ich prüfe ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind?
Sind nicht 3 linear Unabhängige Vektoren immer eine Basis des [mm] \IR^3? [/mm] 
Dann sähe meine Antwort wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }\sim\pmat{ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -0,5 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Somit sind die 3 Vektoren linear unabhängig und Basen des [mm] \IR^3, [/mm] womit die lineare Abbildung f existiert!???
Ich bitte um Stellungnahme
Viele Grüße, Paula
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Hallo.
das sieht gut aus. Damit existiert eine solche Lineare Abbildung
Viele Grüße
Blasco
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